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摘要: 螺旋度与湍流的拓扑结构以及动力学演化过程密切相关. 本文首先详细阐述了螺旋度与流动结构之间具体的关联关系. 随后, 本文重点探讨了螺旋度在湍流输运中的作用, 以及与其他物理效应之间的耦合关系. 由于螺旋度对流动结构的表征作用以及对湍流动力学演化的重要影响, 本文随后简要介绍了螺旋度在湍流建模中的应用. 最后, 本文对当前的研究进展进行了总结, 指出了螺旋度与湍流相关研究的未来主要发展方向.Abstract: Helicity is closely related to the topology of flow. This paper first explains the specific connection between helicity and flow structures. Subsequently, this paper focuses on elaborating the role of helicity in turbulence, as well as its coupling with other physical effects. Based on the crucial influence of helicity on flow structures and turbulent dynamics, this paper then briefly introduces the current applications of helicity in turbulence theory and simulation modeling. Finally, this paper summarizes the current research progress, outlining the overall advancement of helicity and the main directions for future studies.
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Key words:
- helicity /
- turbulent theory /
- turbulent simulation /
- helical dynamics /
- helical wave decomposition
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1. 引 言
湍流作为经典物理学中的一个著名难题, 其主要难点在于非线性引起的多尺度耦合, 导致其具有高自由度、多尺度宽频脉动、对噪声敏感等特征. 螺旋度
$ H $ 是三维湍流中除去能量之外的又一二阶无黏不变量 (Moreau 1961, Alexakis & Biferale 2018), 其定义为$$ H=\int \boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{\omega} \mathrm{d} V$$ (1) 其中,
${\boldsymbol{u}}$ 是速度,${\boldsymbol{\omega }} = \nabla \times {\boldsymbol{u}}$ 是涡量. 而$h = {\boldsymbol{u}} \cdot {\boldsymbol{\omega }}$ 表征螺旋度密度, 简称螺旋度. 平均螺旋度不为0的湍流称为螺旋湍流. 广义来讲, 几乎所有客观存在的三维湍流均可认为是螺旋湍流. 螺旋度一方面反映了流场的拓扑结构特征, 表征了流场的演化过程; 另一方面, 螺旋度的引入破坏了流动的镜像对称性, 结合其守恒性特征, 会对流动稳定性与湍流演化产生重要影响.螺旋度广泛存在于自然界与工业领域的流动中. 例如, 螺旋结构是大气流动尤其是对流运动的基本物理图景. 旋转与上升运动是对流系统的共同重要特征, 螺旋度同时考虑了这两者的综合效应. Lilly (1986)最早将螺旋度正式引入到强对流风暴研究中, 发现在超级雷暴单体中, 螺旋度抑制了湍流扩散, 使得超级单体更加稳定, 生命周期延长. 事实上, 理论研究揭示, 螺旋度会减弱湍流大约
$10\% $ 的耗散(Linkmann 2018). 随后, 螺旋度开始逐渐被作为天气预报参数应用到雷暴、龙卷风、大范围暴雨等强对流天气的诊断分析中(Burgess & Foster 1990, 李耀东 等 2005, 郑峰 2005, Yao et al. 2018, 唐嘉蕙 2019). 螺旋度在超新星爆炸、日冕物质抛射等天体物理现象中也扮演了重要角色. Käpylä 等 (2018)通过对真实天体物理系统的模拟发现, 超新星爆炸引发了带有强螺旋度与涡量的星际湍流, 以及大尺度磁场的生成, 并称之为各向异性的动力学$\alpha $ 效应. 考虑磁场效应时, 磁螺旋度为守恒量. 类似于流动螺旋度之于流体运动, 磁螺旋度表征了等离子体流动的拓扑结构变化. 宇宙中, 日冕物质抛射、太阳风湍流等太阳活动均为等离子体运动. 磁螺旋度与流动螺旋度爆发指数是日冕物质抛射过程中射流发生与否的重要判据(Pariat et al. 2023). 在工业工程中, 螺旋度与流动稳定性与湍流的胀压效应息息相关, 对高性能航空发动机、高速飞行器、可控核聚变的研发具有潜在应用价值. 例如, 旋流燃烧器是航空发动机燃烧室中的重要部件, 通过旋转来形成低压区, 加强燃料混合与燃烧稳定性, 而螺旋不稳定性是此流动失稳的重要机制(Gallaire & Chomaz 2003; Hiejima 2015a, 2020). 在高速飞行器表面的流动转捩过程中, 螺旋度较好地反映了横流强度对横流转捩预测与建模具有重要参考价值(杜一鸣 等 2023). 此外, 螺旋度在托卡马克装置中电磁场的形成与维持过程中也起到了重要作用(Ebrahimi et al. 2014). 以上种种例子说明了螺旋度在自然科学与工程科学中的重要应用价值, 这促使了学者们对具有明显手性破缺性质的流体力学系统进行深入探索.本文将主要关注点放在螺旋度与湍流演化的联系上. 下文中, 本文将首先介绍螺旋度与流动结构之间的密切联系, 随后将重点阐述螺旋湍流中的螺旋度扮演的角色与相关动力学机制. 本文将具有高平均螺旋度的湍流特指为螺旋湍流. 在螺旋湍流中, 螺旋度与能量一同向小尺度正向输运, 这可通过守恒特性进行解释. 与此同时, 螺旋湍流中存在能量的隐含反向级串与局部反向散射, 这两种行为与满螺旋度时的同手性三波交互有关. 另一方面, 同手性三波交互会导出另一个结果, 即螺旋度会阻碍能量的输运与耗散. 这与从Lamb矢量以及空间与相对齐等其他角度得到的结果相一致. 基于以上级串特性, 本文进一步总结了螺旋湍流中的结构函数律、标度律、局部性以及衰减律. 在针对螺旋湍流进行详细阐述之后, 本文将介绍螺旋度与旋转效应、可压缩效应、电磁效应等复杂效应的耦合作用. 最后, 本文将针对螺旋度在湍流建模中的应用进行介绍.
2. 螺旋度与螺旋湍流基础理论
2.1 螺旋度与流动结构
Moffatt (1969)提出了关于螺旋度的拓扑解释. 考虑图1所示的情形, 整个流场中只有两个互相连接的涡管, 螺旋度仅与两个涡管构成的流动结构有关. 涡管1上的螺旋度为
$$ {H_1} = \int_{{V_1}}^{} {{\boldsymbol{u}} \cdot {\boldsymbol{\omega }}{\text{d}}V} = \oint_{{C_1}} {{\boldsymbol{u}} \cdot ({\varPhi _1}{\text{d}}{\boldsymbol{l}})} = {\varPhi _1}\oint_{{C_1}} {{\boldsymbol{u}} \cdot {\text{d}}{\boldsymbol{l}}} = {\varPhi _1}\int_{{S_1}}^{} {{\boldsymbol{n}} \cdot {\boldsymbol{\omega }}{\text{d}}S} = {\varPhi _1}{\varPhi _2} $$ (2) 其中,
$ {\varPhi _1} $ 是涡管1的涡管强度, 即涡管截面上的涡量通量.${S_1}$ 如图1绿色面积所示, 由于仅有涡管2穿过${S_1}$ , 因此该积分值为涡管2的强度$ {\varPhi _2} $ . 同理可得,${H_2} = {\varPhi _2}{\varPhi _1}$ . 因此, 整个流场中的螺旋度为$$ H = {H_1} + {H_2} = 2{\varPhi _1}{\varPhi _2} $$ (3) 这表明了螺旋度的物理含义, 即流场中的涡管互相缠绕的次数以涡管强度加权的和. 不失一般性, 如果把流场分解为
$ N $ 个无穷小的涡管 (即涡线), 流场中的螺旋度可表示为(Berger 1999, Irvine 2018)$$ H = \mathop \sum \limits_{i,j}^{N \to \infty } {\varPhi _i}{\varPhi _j}{L_{ij}} $$ (4) 其中,
${L_{ij}}$ 是第$i$ 和第$j$ 个涡管之间互相缠绕的次数.通常来说, 螺旋度存在于三种基本涡线构型中(Scheeler et al. 2017, Irvine 2018): 扭转, 链接, 以及缠绕, 如图2所示. 从中可以看出, 扭转与缠绕是针对单个涡线簇来说的, 而链接是针对两个以上的涡线簇来说. 但是本质上, 螺旋度仍然是源于涡线互相缠绕次数的加权和. 以这种基于涡线的拓扑结构的解释作为出发点, 螺旋度的守恒特性也可以简单地从Helmholtz定律推导得出: 无黏条件下, 一条涡线在运动全过程中始终是同一条涡线, 且涡管强度不变, 因此螺旋度守恒. 但是, 当存在黏性时, 情况有所不同, 此时两个相互接近的涡中涡线断开, 然后不同涡线重新连接, 这被称为涡重联过程(Yao & Hussain 2022). 在这一过程中, 螺旋度的存在形式在三种基本涡线构型之间互相转换, 并伴随着螺旋度的衰减. 这一现象的研究最早起源于Crow (1970)对于飞机翼尖一对脱落尾涡的正弦不稳定性的研究. 涡重联过程中涡核区的动力学过程在涡重联过程中至关重要(Melander & Hussain 1993, 1994). 而涡核的拓扑结构与螺旋度密切相关, 因而在涡重联的研究过程中螺旋度常受广泛关注. 早在1988年, Kida和Takaoka (1988)已通过数值模拟, 发现了涡重联中螺旋度缓慢耗散, 并假设在无黏条件下螺旋度将守恒.
然而, 由于涡重联过程中的奇点特性以及实际流动中的复杂流动结构, 从螺旋度的拓扑结构对螺旋度开展研究一直都比较困难. 直到近年, 各种实验方法与数值算法的开发开创了新的局面, 如图3所示. 理论研究方面, Laing 等 (2015)证明了链接与缠绕在黏性引起的涡重联过程中转换效率很高, 几乎是守恒的. 在这一过程中, 重联自发地发生在反平行的涡线之间. 随后, 实验方面Scheeler 等 (2017)利用涡核附近不均匀的染色剂分布研究了扭转与缠绕的转换过程. 其通过中心轴线估算缠绕, 并据此计算扭转. 在涡的追击过程中, 涡环循环地收缩膨胀, 伴随着涡管的拉伸与压缩, 扭转与缠绕两种构型同样以很高的效率互相转化. 并且, 单个孤立螺旋涡环演化过程中, 首先是扭转螺旋度被耗散掉. 此后, 整体的螺旋度是大致守恒的, 这意味着黏性作用所耗散掉的具体形式多为扭转螺旋度. 模拟方面, 针对链接与缠绕之间的转换, 由于链接与缠绕的守恒只需考虑中心线的几何形状, 可采用超流体的Gross-Pitaevskii模型进行模拟, 其既能模拟旋涡的中心线动力学, 又能允许重联接过程发生. Kleckner 等 (2016)通过研究了322种典型的复杂涡结构, 发现涡重联倾向于“解开”复杂的涡结构, 将链接转换为单向的扭转. 而Kivotides和Leonard (2021)采用起源于量子涡动力学的重联算法模拟了高雷诺数下的Hopf link的演化过程. 发现在链环演化过程中, 涡环将对齐且拉伸而至发生涡重联. 在涡重联发生前, 链接保持恒定; 而在涡重联过程中, 链接迅速地向缠绕转换.
图 3 三种螺旋度之间的转换. (a)一对涡环之间的链接螺旋度在涡重联后转换为单个涡环的缠绕, 经过局部放大(Scheeler et al. 2014); (b) “三叶形结”的涡重联, 链接转化为缠绕(Alexakis & Biferale 2018, Yao et al. 2021); (c) Hopf link 的涡重联, 链接转化为缠绕(Kivotides & Leonard 2021); (d) 涡的追击过程中缠绕通过涡拉伸转换为扭转(Scheeler et al. 2017)涡重联不仅存在于经典流体力学中, 也同样发生在量子流体中, 二者具有相类似的性质. 而在超流体中, 量子涡的拓扑特性更主导着量子湍流的动力学过程, 尤其在小尺度下, 量子涡对于超流体的耗散机制至关重要. Feynman (1955)预测在低温He II形成的超流体中涡重联发生时, 较大的涡环将形成较小的涡环, 如此反复直至涡环足够小以至于能够被流体和边界的摩擦所耗散(如图4所示). 而后续的理论工作表明, 涡重联过程会直接产生声波并在欠阻尼且非线性相互作用的涡线上产生Kelvin波(Paoletti & Lathrop 2011). 而在模拟方面, Di Leoni 等 (2016)通过模拟超流体发现, 螺旋度仅在一些简单涡构型的涡重联过程中是守恒的, 在另外的一些涡重联过程中则不守恒; 并证实了涡重联会激发Kelvin波, 与非线性相互作用, 耗散螺旋度. Zuccher和Ricca (2015)使用三维Gross-Pitaevskii方程对系统中两个相互作用的涡环数值模拟, 发现与NS方程控制的情况类似, 在涡重联过程中扭转和缠绕保持不变, 从而自螺旋度 (两者之和) 守恒. 之后, 又与Ricca共同通过数值模拟, 对朴素双链环和Holf链环开展研究, 解答了两种位形的拓扑非守恒相互作用, 破除了工作中的矛盾之处(Zuccher & Ricca 2017, 2018; Hao et al. 2020), 他们指出在一些非自然的初始条件, 如直接在平面涡流环轴上叠加均匀相角, 会导致出现非物理的结果. 并给出了一对链接涡环演化和衰变的一般机制−涡环通过一系列链接而耗散, 最终产生三个未链接、展开而几乎平面的涡环. 而螺旋度在这过程中守恒, 具体表现为缠绕向扭曲螺旋度的转换.
以上结果似乎提供了一个关于螺旋度的转化与耗散的自洽解释, 涡结构通过涡重联在链接与缠绕相互转换, 这个过程螺旋度几乎是守恒的, 又通过涡拉伸机制在缠绕与扭转之间相互转化. 在涡拉伸的过程中, 扭转螺旋度通过小尺度脉动快速耗散, 这与能量的耗散机理一致. 大量试验和数值模拟表明, 在湍流衰减过程中, 涡管被不断拉伸, 产生更多小尺度运动, 这是湍流演化的重要机理(Siggia 1985, Wu et al. 2015). 在涡拉伸过程中, 涡管截面收缩, 局部涡量加强, 拟涡能 (
${\boldsymbol{\omega }} \cdot {\boldsymbol{\omega }}/2$ ) 加强. 在静止固体边界或无穷远边界下, 拟涡能等价于能量耗散率. 因此, 在湍流中, 涡拉伸促进了涡量与能量耗散率的增强. 这体现了能量与螺旋度两个守恒量在湍流演化过程中所代表的动力学过程的一致性.但是实际上, 螺旋度的涡动力演化过程远不止这么简单. Xiong和Yang (2019)直接采用数值模拟研究了涡重联过程, 确认了“三叶形结”涡重联中螺旋度的守恒, 但当涡结构变为更复杂的“五叶形结”与“七叶形结”之后, 涡重联诱导出大量的小尺度涡结构并快速将螺旋度耗散掉. Yao和Hussain (2021)发现, 随着雷诺数加强, 螺旋度的突变也越显著, 且重联后扭转螺旋度大致守恒, 这与Scheeler 等 (2017)的观察完全相反. 更重要的是, 存在较弱的螺旋度时, 由于对非线性作用的抑制作用, 湍流级串与小尺度结构发展被抑制, 但当螺旋度变强时, 由于稳定性与瞬态增长, 湍流级串被加强. Zhao和Scalo (2021)发现随着涡核半径减小, 涡重联过程中螺旋度的突变也更加显著. 以上发现意味着, 实际流动中, 随着湍流的引入, 螺旋度的演化机理也变得更加复杂, 有待进一步的探索. 更重要的是, 以上螺旋度的相关流动拓扑研究, 揭示了螺旋度对流动拓扑结构演化的重要表征作用, 以及对湍流级串、流动演化的重要影响, 这促使学者们探讨螺旋度在湍流演化与级串中扮演的角色.
2.2 均匀各向同性湍流中的螺旋度
不可压缩的Navier-Stokes (NS) 控制方程如下所示
$$ \left. \begin{gathered} {\partial _t}{\boldsymbol{u}} = {\boldsymbol{u}} \times {\boldsymbol{\omega }} - \nabla p + \nu \Delta {\boldsymbol{u}} + {\boldsymbol{F}} - \alpha {\boldsymbol{u}} \\ \nabla \cdot {\boldsymbol{u}} = 0 \\ \end{gathered} \right\} $$ (5) 其中,
$\nu $ 是运动黏性系数;$ p = p' + \dfrac{{{\boldsymbol{u}} \cdot {\boldsymbol{u}}}}{2} $ 是总压, 通过压力泊松方程求解;${\boldsymbol{F}}$ 是加力函数, 用于在加力尺度上${l_f}$ 注入能量与螺旋度, 以确保得到统计稳态的湍流, 否则湍流会被黏性作用所耗散衰减;$ - \alpha {\boldsymbol{u}}$ 是大尺度阻力项, 物理背景为物理边界的耗散、以及向更大尺度的能量/螺旋度输运等效应. 在式 (5) 中, 非线性项原始形式为对流项, 通过${\boldsymbol{u}} \cdot \nabla {\boldsymbol{u}} = - {\boldsymbol{u}} \times {\boldsymbol{\omega }} + \nabla ({\boldsymbol{u}} \cdot {\boldsymbol{u}})/2$ 进行化简, 表示成Lamb矢量$L = {\boldsymbol{u}} \times {\boldsymbol{\omega }}$ 与总压形式.均匀各向同性湍流 (homogeneous isotropic turbulence, HIT) 是湍流的一种标准化算例. 在均匀各向同性假设下, 湍流具有统计意义上的平移与旋转不变性(Pope 2001). HIT通常被用于湍流本身的流动特性与统计特性上的研究, 以排除其他边界层、剪切等作用. 实验上, 可通过穿过格栅的流动生成(张兆顺 等 2005). 在数值模拟上, 主要通过伪谱法在周期性边界的盒子湍流中进行模拟.
湍流是典型的多尺度运动, 级串便是湍流在不同尺度上守恒量的输运. 级串是湍流中最主要的现象之一(Pope 2001). 在经典的湍流图景中, 湍流脉动在大尺度上经由各种复杂的外部作用生成, 随后逐步向更小尺度进行输运, 最后在耗散尺度上被耗散掉. 级串指由大尺度向小尺度逐级输运守恒量的过程. 受到外部激励生成的湍流脉动的主要尺度被称为含能尺度; 湍流在小尺度被黏性项所耗散, 这一尺度被称为耗散尺度, 即Kolmogorov尺度. 在含能尺度与耗散尺度间, 存在某一尺度, 一方面独立于含能尺度运动与外力作用, 却有来自大尺度的源源不断的能量输入; 另一方面, 黏性耗散作用可以忽略, 却又输运能量到耗散尺度. 这一中间尺度被称为惯性尺度, 此尺度最主要的动力学过程为能量由大尺度向小尺度的输运过程, 这被称之为能量的正向级串. 具体来说, 守恒量由大尺度向小尺度的输运为正向级串, 例如经典的三维湍流的能量级串; 由小尺度向大尺度的输运被称为反向级串, 例如二维湍流、旋转湍流中的能量级串. 更重要的是, 在惯性区范围, 也就是级串所主导的范围内, 一般要求具有显著的尺度分离, 即此处的守恒量的正向/反向通量为常数. 更精确的定义可参考Alexakis和Biferale (2018)的相关总结.
本节所讨论的守恒量有三种, 分别是能量、螺旋度与拟涡能. 在三维湍流中能量与螺旋度是无黏守恒量. 而在二维湍流中, 螺旋度恒为0, 能量与拟涡能是无黏守恒量. 在谱空间, 能量、螺旋度与拟涡能分别可以为写为如下形式
$$ E(k)=\sum_{|k|=k} \hat{\boldsymbol{u}}(\boldsymbol{k}) \cdot \hat{\boldsymbol{u}}(\boldsymbol{k}) / 2, \quad H(k)=\sum_{|\boldsymbol{k}|=k} \operatorname{Re}\left[\hat{\boldsymbol{u}}(\boldsymbol{k}) \cdot \widehat{\boldsymbol{\omega}}^*(\boldsymbol{k})\right] / 2, \quad Z(k)=\sum_{|k|=k} \widehat{\boldsymbol{\omega}}(\boldsymbol{k}) \cdot \hat{\boldsymbol{\omega}}^*(\boldsymbol{k}) / 2 $$ (6) 其中,
$\widehat {{\text{ }}}$ 代表谱空间物理量,${\boldsymbol{k}}$ 是谱空间的波数向量, 其模为$ |{\boldsymbol{k}}| $ .具有强螺旋度的均匀各向同性湍流的典型涡结构与螺旋度分布如图5所示. 在二维湍流中, 速度与涡量方向正交, 因而螺旋度恒为0, 对湍流级串的作用并未显含. 此时, 由于能量和涡量的无黏不变性, 二维湍流会自发地形成能量的反向级串和拟涡能的正向级串(Kraichnan 1967, Boffetta & Ecke 2012). 然而在三维湍流中, 螺旋度不再恒为0, 螺旋度因而在湍流级串中扮演者重要角色, 尤其是在如旋转流动、螺旋湍流、Beltrami流动等螺旋度作用明显的流动中. 螺旋度对于湍流级串的影响可以从Lamb矢量 (
${\boldsymbol{u}} \times {\boldsymbol{\omega }}$ )、守恒特性、螺旋波分解三方面进行阐述.
图 5 螺旋湍流中的 (a) 涡结构与 (b) 相对螺旋度分布(Kitamura 2021)从Lamb矢量的角度来说, 在NS方程 (式 (5)) 中, Lamb矢量是唯一的非线性作用, 是能量或螺旋度在不同尺度上进行输运的唯一途径, 随着局部螺旋度
${\boldsymbol{u}} \cdot {\boldsymbol{\omega }}$ 加强, 速度与涡量对齐, Lamb矢量被抑制. 这代表着螺旋度的加强会抑制流场中的非线性作用, 从而对湍流的级串造成重要影响.为了从守恒特性的角度来阐述螺旋度在三维湍流中所扮演的角色, 我们先考虑一个更加简单的例子−二维湍流. 在二维湍流中, 不存在螺旋度, 两个重要的无黏守恒量为能量
$E(k)$ 与拟涡能$Z(k)$ . 那么对于正向级串区域来说, 波数$k$ 上向高波数 (小尺度) 的能量通量${\varPi _E}(k)$ 为大于$k$ 的能量耗散的和, 对波数$k$ 上向高波数的拟涡能通量${\varPi _Z}(k)$ 也是同理. 那么存在如下不等式$$ {\varPi _E}(k) = 2\nu \mathop \sum \limits_{k' = k}^\infty {(k')^2}E(k')\leqslant 2\nu {k^{ - 2}}\mathop \sum \limits_{k' = k}^\infty {(k')^4}E(k') = {k^{ - 2}}{\varPi _Z}(k) $$ (7) 其中,
$2\nu {(k')^2}E(k')$ 是波数$k'$ 上的能量耗散,$2\nu {(k')^4}E(k)$ 是波数$k'$ 上的拟涡能耗散. 从以上表达式可以看出,${\varPi _E}(k)\leqslant {k^{ - 2}}{\varPi _Z}(k)$ . 由于拟涡能守恒,${\varPi _Z}(k)$ 为有限值, 且级串的通量理应是与波数无关的量, 因此${\varPi _E}(k) = 0$ . 这意味着, 在二维湍流中, 由于拟涡能守恒, 且其为能量的高阶量, 能量应仅存在反向级串. 针对式(5)所描绘的问题中的反向级串来说, 能量被输运至小波数, 被大尺度阻力项$ - \alpha {\boldsymbol{u}} $ 所耗散, 用以描绘实际情况中能量被输运至更大尺度或为边界条件所耗散的物理现象. 因此反向级串可以被估计如下$$ - {\varPi _Z}(k) = 2\alpha \mathop \sum \limits_{k' = 0}^k {(k')^2}E(k')\leqslant 2\alpha {k^2}\mathop \sum \limits_{k' = 0}^k E(k') = - {k^2}{\varPi _E}(k) $$ (8) 由于能量守恒,
${\varPi _E}(k)$ 是有限值, 且反向级串通量应与波数$k$ 无关,${\varPi _Z}(k) = 0$ . 这代表着, 拟涡能应仅存在正向级串. 总的来说, 对于二维湍流, 由于能量与拟涡能的守恒特性, 能量反向级串, 拟涡能正向级串. 二维湍流的典型流动背景是大气边界层(Houghton 2002), 从守恒特性得到的这一简单现象, 揭示了大气边界层中大尺度二维结构的重要形成机理. 二维湍流的能量反向级串通过实验(Sommeria & Moreau 1982, Sommeria 1986, Tabeling 2002, Ecke 2017)与数值模拟(Celani et al. 2010, Benavides & Alexakis 2017, Musacchio & Boffetta 2017)得到了大量验证与研究.随后考虑三维湍流中的守恒特性, 三维湍流中螺旋度与能量为无黏守恒量. 螺旋度是能量的高阶量, 但与二维湍流中的情形不同, 三维湍流中螺旋度是非正定的, 因此, 不存在式 (7) 中的类似不等式, 这代表着, 在三维湍流中, 从守恒特性的角度来说, 螺旋度守恒对能量级串没有影响, 能量正向、反向级串均有可能发生. 然后考虑能量守恒对螺旋度级串的影响, 我们针对螺旋度的反向级串作出如下估计
$$ \left| {{\varPi _H}(k)} \right| = \left| {2\alpha \mathop \sum \limits_{k' = 0}^k H(k')} \right| \leqslant 2\alpha k\left| {\mathop \sum \limits_{k' = 0}^k E(k')} \right| = \left| {k{\varPi _E}(k)} \right| $$ (9) 其中, 采用了不等式
$\left| {H(k)} \right| \leqslant kE(k)$ . 类似的, 由于能量通量$ {\varPi _E}(k) $ 为有限常值, 且螺旋度通量$ {\varPi _H}(k) $ 为恒定常值与波数$k$ 无关, 则应有$ \left| {{\varPi _H}(k)} \right| = 0 $ . 这意味着, 在三维湍流中, 能量守恒对螺旋度的尺度动力学造成了限制, 使得其无法存在反向级串. 事实上, 在HIT中, 能量与螺旋度均为正向级串(Chen et al. 2003a). 更值得注意的是, 对于包含其他作用的三维湍流, 只要能量与螺旋度的无黏守恒特性仍然存在, 螺旋度就不会存在反向级串. 例如, 在旋转湍流中, 守恒特性与HIT相同, 但是能量既有正向级串, 也有反向级串, 而螺旋度仍只存在正向级串(Hu et al. 2022). 当然, 这里的级串指整体上的能量与螺旋度平衡, 在空间局部位置, 正向、反向的尺度间输运均有可能存在. 局部空间/尺度上的动力学也是湍流研究的重要组成部分(Yan et al. 2020c).随后从螺旋波分解的角度来分析螺旋度在三维湍流中扮演的角色. 通过螺旋波分解, 我们可以将非线性作用表示为同手性/异手性的三波交互. 这为了解手性破却对级串的影响提供了一个重要的角度. 此外, 这种分解揭示了依赖于异手性和同手性三波交互的相对权重, 能量可以反向输运到大尺度. 这是一种在流动没有二维化的前提下, 提供了能量反向级串图景的纯三维机制. 为了对螺旋波分解进行深入介绍, 这里首先给出一个定义: 当速度与涡量完全对齐时, 流动处于满螺旋度态. 具体来说, 假设流动仅存在于单个波数
$k$ 上, 那么必然有$|H(k)| \leqslant kE(k)$ . 而当$|H(k)| = kE(k)$ 时, 速度与涡量完全对齐, 此时流动为满螺旋度态. 对于无黏的Euler方程来说, 任意波数的同手性螺旋波构成的螺旋流 ($\nabla \times {\boldsymbol{u}} = \lambda {\boldsymbol{u}}$ ) 均可作为其解, 这被称为Beltrami流, 在谱空间可被表示为$ik \times \widehat {\boldsymbol{u}} = \lambda \widehat {\boldsymbol{u}}$ . 可以发现, 在Beltrami流中, 速度与涡量完全对齐, 为满螺旋度态. 这种局部的Beltrami流的适当叠加可被用来建立NS方程和Euler方程的奇异解(Moffatt 2014). 所以, 可以考虑将流动分解为不同手性、不同波数的这种Beltrami流的叠加, 以便从这些螺旋波的互相作用来认识湍流中的非线性作用机理, 这便是所谓的螺旋波分解. 具体来说, 在谱空间, 速度$ \widehat {\boldsymbol{u}}({\boldsymbol{k}}) $ 可以进行如下分解$$ \widehat {\boldsymbol{u}}({\boldsymbol{k}}) = {\widehat u^ + }({\boldsymbol{k}}){{\boldsymbol{h}}^ + }({\boldsymbol{k}}) + {\widehat u^ - }({\boldsymbol{k}}){{\boldsymbol{h}}^ - }({\boldsymbol{k}}) $$ (10) 其中,
$ {{\boldsymbol{h}}^ \pm }({\boldsymbol{k}}) $ 是由Beltrami流构成的基函数, 满足$i{\boldsymbol{k}} \times {{\boldsymbol{h}}^ \pm }({\boldsymbol{k}}) = \pm k{{\boldsymbol{h}}^ \pm }({\boldsymbol{k}})$ , 可通过如下表达式构造:$ {{\boldsymbol{h}}^ \pm }({\boldsymbol{k}}) = {\boldsymbol{e}}({\boldsymbol{k}})\times ({\boldsymbol{k}}/k)\pm i{\boldsymbol{e}}({\boldsymbol{k}}) $ ,${\boldsymbol{e}}({\boldsymbol{k}})$ 可以是与${\boldsymbol{k}}$ 正交的任意单位矢量(Waleffe 1992). 不同手性的基函数满足正交性${{\boldsymbol{h}}^ \pm }({\boldsymbol{k}})\cdot {{\boldsymbol{h}}^ \pm }^ * ({\boldsymbol{k}}) = 2$ 和${{\boldsymbol{h}}^ \pm }({\boldsymbol{k}})\cdot {{\boldsymbol{h}}^ \mp }^ * ({\boldsymbol{k}}) = 0$ . 根据基函数的正交性, 标量复函数可以被表示为${\widehat u^ \pm }({\boldsymbol{k}}) = {h^{ \pm * }}({\boldsymbol{k}})\cdot \widehat {\boldsymbol{u}}({\boldsymbol{k}})/2$ . 对NS公式进行螺旋波分解, 并将非线性项进行展开与整理, 可得(Waleffe 1992)$$ \begin{gathered} ({\partial _t} + \nu {k^2} + \alpha ){\widehat u^{{s_k}}}({\boldsymbol{k}}) = \\ {\text{ }} - \frac{1}{4}\sum\limits_{{\boldsymbol{p}} + {\boldsymbol{q}} + {\boldsymbol{k}} = 0} {\sum\limits_{{s_p},{s_q}} {({s_q}p - {s_p}q)\left[ {{{\boldsymbol{h}}^{{s_k} * }}({\boldsymbol{k}})\times {{\boldsymbol{h}}^{{s_p} * }}({\boldsymbol{p}})\cdot {{\boldsymbol{h}}^{{s_q} * }}({\boldsymbol{q}})} \right]{{\widehat u}^{{s_q} * }}({\boldsymbol{q}}){{\widehat u}^{{s_p} * }}({\boldsymbol{p}})} } + {\widehat f^{{s_k}}}({\boldsymbol{k}}) \\ \end{gathered} $$ (11) 其中,
$\{ {s_k},{s_p},{s_q}\} = \{ \pm , \pm , \pm \} $ 是手性, 如果给定${s_k}$ , 一共有四种不同的组合. 对于给定$ {\widehat u^{{s_k}}}({\boldsymbol{k}}) $ 来说, 非线性项由所有给定波数${\boldsymbol{k}}$ 的满足${\boldsymbol{p}} + {\boldsymbol{q}} + {\boldsymbol{k}} = 0$ 的波数$\{ {\boldsymbol{p}},{\boldsymbol{q}}\} $ 集合以及给定${s_k}$ 的所有手性$\{ {s_p},{s_q}\} $ 的集合构成. 两个集合中的一个元素被称为一个三波交互, 其物理含义是具有特定$\{ {\boldsymbol{k}},{\boldsymbol{p}},{\boldsymbol{q}},{s_k},{s_p},{s_q}\} $ 中元素的非线性项子项. Waleffe (1992)提出了不稳定性假设, 将基本的三波交互的稳定性与能量输运的方向联系到了一起. 其核心结论是考虑带有手性的波数的模$\{ {s_k}k,{s_p}p, {s_q}q\} $ , 位于三个波数中间的那个是不稳定的, 倾向于损失能量. 例如,$\{ {s_k}k,{s_p}p,{s_q}q\} = \{ - 5,6,2\} $ ,${s_p}p > {s_q}q > {s_k}k$ , 那么波数$q$ 上的能量输运到其他两个波数上, 考虑波数的绝对值大小, 可以发现这是由小波数向大波数的输运, 为正向级串. 再考虑$\{ {s_k}k,{s_p}p,{s_q}q\} = \{ 5,6,2\} $ ,$ {s_p}p > {s_k}k > {s_q}q $ , 此时波数$k$ 损失能量到其他两个波数, 由于$k > q$ , 因此由$k$ 向$q$ 的能量输运为反向级串, 这意味着在我们所认识到的经典三维湍流中的正向级串图景中, 隐含着向大尺度的反向能量级串. 总的来说, 三波交互的手性组合$\{ {s_k},{s_p},{s_q}\} $ 共有八种分类, 但是$ \{ + , + , + \} $ 与$ \{-, -, -\} $ 是对称的, 其他三波交互也两两对称, 动力学过程相同, 因此可以被归类为四种. 图6给出了三波交互的四种分类, 箭头方向代表了能量的输运方向, 线条粗细代表了能量通量的大小. 需要注意的是, 能量输运方向是准确的, 但是通量的大小仅供参考. 能量通量大小不仅受到手性影响, 也受到三波交互的三个波矢量模的相对大小的影响, 并不固定. 前面给出的两个例子分别属第三类与第一类三波交互. 在四个类别中, 第一类是同手性的, 即包括三个手性相同的波的相互作用, 其余三个类别是异手性的. 从我们前面所考虑到的守恒特性的角度来看, 如果只考虑同手性的三波交互 (第一类三波交互) 的话, 那么相当于认为螺旋度是正定的, 类似于二维湍流中的拟涡能, 此时就不难理解为何第一类三波交互是反向级串所主导的. 另外, 第二类三波交互也存在一定的能量反向级串, 也可以用类似的方式解释: 考虑到两个最大波数是同手性的, 即任何将脉动从小波数传输到大波数的机制都会导致第二类三波交互的螺旋度的增加. 以上为三波交互理论的基本原理, 其研究开创了湍流级串理论的新局面.
图 6 三波交互的四种分类(Waleffe 1992, Alexakis & Biferale 2018); 箭头代表了能量输运的方向, 线条粗细代表了能量通量的大小; 蓝色代表正向级串, 红色代表反向级串基于三波交互的理论, 研究者们开展了进一步的研究. 主要有三种方法: 第一种是仅考虑图6中某几类三波交互; 第二种是以第一类三波交互为基础, 控制其他类的比重; 第三种是通过加力方式实现满螺旋度态. 下面将进行详细介绍.
第一种方法是将NS方式进行简化, 仅考虑图6中的单独一类或者其中某几类, 以此来对三波交互理论进行验证并开展进一步研究. 由于三维湍流中主流观点是能量正向级串, 所以学者们更关注反向级串是否真的存在. 因此, 第一类三波交互首先被单独研究, 其预测会产生能量的反向级串与螺旋度的正向级串, 这通过仅考虑同手性三波交互的简化NS方程的直接数值模拟得到了有力验证(Biferale et al. 2012, 2013). 这是二维/准二维机制之外的, 存在于三维湍流中的反向级串新机制. 更重要的是, 在完整的NS方程中, 如果把级串通量根据图5中的分类进行分解, 同样能得到向大尺度的反向能量输运, 主要由第一类三波交互所贡献(Kessar et al. 2015, Alexakis 2017). 这一结论也通过绝对平衡谱(Herbert 2014)与EDQNM模型(Briard et al. 2017)等其他方法得到了验证. 这加强了对反向级串事件机理的认识, 有助于对大涡模拟中反向散射事件的建模. Sahoo和Biferale (2015)采用简化的NS方程研究了第二类与第四类三波交互, 验证了第二类三波交互导致的反向级串以及第四类三波研究引起的正向级串. Rathmann和Ditlevsen (2016)使用壳模型确认了第二类三波交互的特性, 其总体表现为正向还是反向级串取决于三波交互是否是局部的. 具体来说, 如果由三波的模大小相近, 那么这类三波交互就是局部的, 此时能量主要为正向输运. 如果三波的模大小相差很大, 那么这被称为非局部的三波交互, 此时能量倾向于反向输运, 这与基于单个三波交互的研究结果一致(Waleffe 1992). 第二种方法是以第一类三波交互为基础, 控制其他三波交互出现的比率(Sahoo et al. 2015)或者权重(Sahoo et al. 2017), 以此来研究由正向级串到反向级串的转变过程. 通过控制异手性三波交互的比率, Sahoo 等 (2015)发现, 仅仅需要引入极少的异手性三波交互, 流动整体就由反向级串转变为正向级串. 这意味着在湍流的非线性动力学中, 异手性三波交互要比同手性的有效得多. 仅需要很少的异手性三波交互, 就足以改变湍流中的级串特性, 这也通过统计平衡方法得到了验证(Herbert 2014). 通过控制异手性三波交互的权重, Sahoo 等 (2017)发现, 导致正、反向级串转变的异手性三波交互的临界权重大约在0.3左右, 随着雷诺数增加, 正、反向级串的转变越来越剧烈. 第三种方法是通过加力方式实现满螺旋度态, 演化方程为完整的NS方程, 同样观察到了典型的反向级串与能谱(Plunian et al. 2020).
在以上讨论中, 我们从Lamb矢量、守恒特性以及螺旋波分解三方面针对螺旋度在湍流级串中所扮演的角色及其对能量级串的影响进行了深入讨论. 接下来, 我们会介绍一些其他定量结果. 首先, 最重要的是湍流经典理论在螺旋湍流中的拓展与延伸, 例如螺旋湍流中的结构函数、两点相关与标度律. 早期的湍流理论研究开始于结构函数与两点相关的研究, 比如说经典卡门-豪沃斯方程. 此方程的应用导出了洛强斯基不变量与Taylor微尺度(张兆顺 等 2005). Taylor微尺度介于耗散尺度与含能尺度之间, 基于此尺度的Taylor雷诺数是HIT的实验与模拟中衡量湍流强度的最具代表性的无量纲数之一. 并且, 基于卡门-豪沃斯方程与各向同性假设, 可以导出HIT中三阶结构函数的精确理论解, 这是湍流理论研究的经典成果之一(Pope 2001). 21世纪初, 通过引入螺旋度守恒, 三阶结构函数的理论解被进一步拓展, 这是三维湍流中新的限制条件, 为湍流封闭与建模提供了新的理论基础. 能量与螺旋度的三阶结构函数可被写为如下形式(Chkhetiani 1996, Gomez et al. 2000, Kurien et al. 2004)
$$ \left.\begin{array}{l} \left\langle\left(\delta_L u\right)^3\right\rangle=-\dfrac{4}{5} \varepsilon_E r \\ \left\langle\delta_L u(\delta \boldsymbol{u} \cdot \delta \boldsymbol{\omega})-\dfrac{1}{2} \delta_L \omega(\delta \boldsymbol{u} \cdot \delta \boldsymbol{u})\right\rangle=-\dfrac{4}{3} \varepsilon_H r \end{array}\right\}$$ (12) 其中,
$ {\varepsilon}_{E} $ 与$ {\varepsilon}_{H} $ 分别是能量耗散与螺旋度耗散; 对于任意矢量${\boldsymbol{q}}({\boldsymbol{x}})$ ,$\delta {\boldsymbol{q}}({\boldsymbol{r}}) = {\boldsymbol{q}}({\boldsymbol{x}} + {\boldsymbol{r}})- q({\boldsymbol{x}})$ 是沿着位移矢量${\boldsymbol{r}}$ 的结构函数;${\delta _L}q = ({\boldsymbol{q}}({\boldsymbol{x}} + {\boldsymbol{r}})- {\boldsymbol{q}}({\boldsymbol{x}})) \cdot {\boldsymbol{r}}/|{\boldsymbol{r}}|$ 是结构函数在位移矢量方向上的投影, 即纵向结构函数. 这里的速度的三阶纵向结构函数便是经典的$ - 4/5$ 律(Pope 2001).标度律是湍流理论的重要组成部分, 也是湍流理论中最广为人知的理论成果之一, 最著名的便是Kolmogorov (1941)的
$ - 5/3$ 能谱. 1971年, Kraichnan (1971)提出关于级串特征扰动时间尺度的估计:$\tau (k) = {\left( {\mathop \smallint \nolimits_0^k E(p){p^2}dp} \right)^{ - 1/2}}$ . 此特征时间尺度衡量了大尺度剪切率对波数$k$ 上级串通量的贡献. 假设能量级串通量${\varPi _E}(k)$ (螺旋度级串通量${\varPi _H}(k)$ ) 和总能量$kE(k)$ (总螺旋度$kH(k)$ ) 与特征扰动时间尺度$\tau (k)$ 的比值成正比(Brissaud et al. 1973), 即$$ {\varPi _E}(k) = kE(k)/\tau (k),\qquad {\varPi _H}(k) = kH(k)/\tau (k) $$ (13) 基于这个假设, 可以导出能量与螺旋度的标度律, 具体结果在图6中给出.
如图7(a)所示, 如果能量与螺旋度都正向级串, 那么大于加力波数段有,
$ {\varPi }_{E}(k)={\varepsilon}_{E}, {\varPi }_{H}(k)={\varepsilon}_{H} $ ; 不存在反向级串, 小于加力波数段为绝对平衡态 (absolute equilibrium) (Kraichnan 1973, Vallefuoco et al. 2018). Alexakis和Biferale (2018)结合式 (13), 可以得到$$\left.\begin{array}{lll} E(k) \sim \varepsilon_E^{2 / 3} k^{-5 / 3}, & H(k) \sim \varepsilon_E^{-1 / 3} \varepsilon_H k^{-5 / 3}, & k>k_f \\ E(k) \sim k^2, & H(k) \sim k^4, & k<k_f \end{array}\right\}$$ (14) 这一结果得到了实验(Gorce & Falcon 2022)与模拟(Chen et al. 2003a, Alexakis 2017, Briard & Gomez 2017, Teimurazov et al. 2018, Vallefuoco et al. 2018, Yan et al. 2020c, Milanese et al. 2021)的验证, 是无外力、完整NS方程中的典型谱特性.
如图7(b)所示, 如果螺旋度正向级串, 能量反向级串, 那么正向级串的惯性区内动力学只与螺旋度的耗散率
$ {\varepsilon}_{H} $ 有关, 即$ {\varPi }_{E}(k)={\varepsilon}_{H}/k,{\varPi }_{H}(k)={\varepsilon}_{H} $ ; 反向级串的惯性区内动力学只与能量耗散率$ {\varepsilon}_{E} $ 有关, 即$ {\varPi }_{E}(k)={\varepsilon}_{E},{\varPi }_{H}(k)=k{\varepsilon}_{E} $ , 结合式 (13), 可以得到$$\left.\begin{aligned} & E(k) \sim \varepsilon_H^{2 / 3} k^{-7 / 3},\qquad H(k) \sim \varepsilon_H^{2 / 3} k^{-4 / 3}, \qquad k>k_f \\ & E(k) \sim \varepsilon_E^{2 / 3} k^{-5 / 3},\qquad H(k) \sim \varepsilon_E^{2 / 3} k^{-2 / 3}, \qquad k<k_f\end{aligned}\right\}$$ (15) 这一结果只有在简化NS方程、特殊加力等特殊情形下才会发生(Biferale et al. 2012, Biferale et al. 2013, Sahoo & Biferale 2015, Sahoo et al. 2017, Plunian et al. 2020). 特别的, Plunian 等 (2020)发现只要确保施加广谱的螺旋度外力, 流动会自然出现反向级串, 这一结果说明, 自然界中, 当螺旋度达到一定强度时, 就会引起反向级串, 导致能量自发保留在大尺度上, 这佐证了Lilly (1983)关于螺旋度加强龙卷风稳定性的推测.
考虑其机制, 螺旋度达到多高强度下, 流动会反向级串, 进而对能谱、螺旋度谱产生影响？Sahoo分析了异手性三波交互的比率(Sahoo et al. 2015)与权重(Sahoo et al. 2017)对反向级串的影响. Plunian 等 (2020)分析了螺旋度外力强度的影响. Yan 等 (2020c)通过滤波方法考虑了级串的性质, 将级串分解为双通道
$$ \varPi_{\Delta}^{H 1}=-\boldsymbol{\tau}: \overline{\boldsymbol{R}}, \quad \varPi_{\Delta}^{H 2}=-\gamma: \overline{\boldsymbol{\varOmega}}$$ (16) 其中,
$ {\tau _{ij}} = \overline {{u_i}{u_j}} - {\overline u _i}{\overline u _j} $ 为亚格子雷诺应力,$ {\gamma _{ij}} = (\overline {{\omega _i}{u_j}} - {\overline \omega _i}{\overline u _j})- (\overline {{\omega _j}{u_i}} - {\overline \omega _j}{\overline u _i}) $ 为亚格子涡拉伸应力,$ \overline {\boldsymbol{R}} = (\nabla \overline {\boldsymbol{\omega }} + {(\nabla \overline {\boldsymbol{\omega }} )^T})/2 $ 为涡量剪切张量,$\overline {\boldsymbol{\varOmega }} = (\nabla \overline {\boldsymbol{u}} - {(\nabla \overline {\boldsymbol{u}} )^T})/2$ 为速度旋转张量, 上标“$ - $ ”代表利用一个平滑的低通滤波函数${G_\Delta }({\boldsymbol{r}})$ 在$\Delta $ 尺度上对流场进行滤波. 例如, 滤波后的速度场可表示为$ {\bar u_i}({\boldsymbol{x}}) = \int {{G_\Delta }({\boldsymbol{r}}){u_i}({\boldsymbol{x}} + {\boldsymbol{r}})} $ . 两个通道分别对应涡扭转、涡拉伸机制, 通过这种方法确认涡扭转与正向级串相关、涡拉伸与反向级串相关, 如图8所示, 并通过二阶张量缩并的欧拉角来定义级串的效率, 发现了反向级串的通道效率更低. 最近, Milanese 等 (2021)将速度与涡量的夹角变化分为两类: 相对齐 ($\cos ({\boldsymbol{u}},{\boldsymbol{\omega }})$ 符号改变, 绝对值大小不变) 与空间对齐 ($\cos ({\boldsymbol{u}},{\boldsymbol{\omega }})$ 绝对值减小, 符号不变). Milanese 等 (2021)发现, 伴随着能量、螺旋度向小尺度输运, 速度与涡量夹角以${k^{ - 1}}$ 的标度减小, 而这个过程主要是相对齐; 速度与涡量的空间夹角几乎不变. 事实上, 根据Lamb矢量的定义, 只有当速度与涡量的空间夹角变化时, 才会对级串的效率造成实质影响. 伴随着正向级串, 湍流发生相对齐, 而没有空间对齐, 这揭示了为什么引入了螺旋度, 但是能量仍然正向级串. 这一解释与我们从上文的各种方法得到的结论均一致. 考虑如果没有相对齐, 这相当于螺旋度是正定的, 此时螺旋度的级串必然引起空间对齐, 进而对级串造成重要影响. 而从守恒特性来说, 螺旋度如果正定, 考虑到其是能量的高阶量, 必然会导致能量的反向级串. 从螺旋波分解来说, 这相当于图5中的第一类三波交互, 同样导出了反向级串的结论.
随后考虑螺旋湍流的局部性. 这里的局部性是空间局部性与尺度局部性的统称. 空间局部性即间歇性. Kolmogorov (1941)最早提出湍流的局部各向同性假设, 对湍流的高阶矩进行了估计. 但是, 事实上, 湍流的分布很不均匀, 极端事件出现的概率很高, 这被称为间歇性, 对湍流的高阶矩有重要影响. Kraichnan (1974)最先提出局部能量通量的定义来研究间歇性, 衡量了某一位置向小尺度的能量输运; 并且提出了改进的相似性假设, 这个改进的相似性假设把速度结构函数和能量通量的矩相联系起来; Chen 等 (2003b)采用滤波方法分析了螺旋度、能量级串的空间局部性、间歇性. 发现螺旋度的间歇性比能量间歇性更强, 这支持了螺旋度与被动标量有类似作用的观点, 并且发现强螺度通量与强能量通量区域位置具有关联性, 螺旋度弱的区域能量通量的间歇性强. 尺度局部性的观点则是基于级串的定义. 级串有一个假设, 即大尺度的能量/螺旋度是沿着尺度逐级向小尺度输运的. 即能量不会突然从含能尺度跨越整个惯性区输运到耗散尺度. 这一观点得到了理论(Waleffe 1992)与模拟(Domaradzki & Rogallo 1988, Domaradzki & Carati 2007)的支持. Waleffe (1992)通过螺旋波分解发现, 能量的输运主要是在非局部三波交互中的相近尺度上发生的. 大涡模拟的主要假设是小尺度运动是类似的, 是可以被模化的, 与外力关联不大. 大涡模拟在这一假设下将小尺度与大尺度运动进行分割, 并对小尺度建模, 对大尺度求解. 在尺度分割的过程中, 隐含了湍流具有尺度局部性的观点. 针对螺旋湍流, Eyink基于滤波方法, 认为螺旋度级串同时具有红外 (大尺度) 和紫外 (小尺度) 局部性(Eyink 2005, 2006). 通过小尺度镜像破缺来研究螺旋度耗散的有限性, 这是非局部的结果, 与 Kolmogorov 关于小尺度镜像对称的假设相矛盾(Galanti & Tsinober 2006). 在镜像对称下, 速度涡量关联函数不再是不变量, 小尺度镜像对称可以逐步恢复(Sahoo et al. 2017). Yan 等 (2020a)通过带宽滤波方法将大小尺度分开, 发现相对于能量级串, 螺旋度的级串会受到更宽的尺度范围的影响, 这表明在建模中, 针对螺旋度占优的流动, 由于更宽的尺度需要被考虑, 大涡模拟对于螺旋度相关量的模拟需要更小的滤波尺度.
湍流另一个重要研究领域是衰减律. 与能谱、螺旋度谱不同, 衰减律会受到初始条件、边界条件、湍流尺度分布特征等各种外在条件的影响, 并没有统一的一致性结果, HIT的能量衰减标度分布在
${t^{ - 2}}\sim {t^{ - 1}}$ 之间(Panickacheril John et al. 2022). 但是, 上文中的结果说明, 螺旋度会对能量的级串造成重要影响, 那么最直接地, 应该考虑螺旋度是如何影响湍流的衰减, 这可以直接反映螺旋度对湍流维持的影响. 考虑到湍流的衰减律直接量化了湍流的维持与衰减特性, 对湍流扩散、强对流天气等问题十分有价值, 此处仍然需要对几种典型机制与衰减律标度进行简略讨论. Morinishi 等 (2001)发现, 螺旋度会影响能量的级串, 进而阻碍能量的衰减. 但是, 后来的研究表明, 螺旋度对湍流衰减的影响主要集中在湍流演化的初期, 当湍流的衰减率呈现稳定标度律时, 衰减律的标度与螺旋度几乎无关(Teitelbaum & Mininni 2009). 首先考虑衰减律标度的最大范围所对应的具体情形, 随着湍流衰减, 当湍流表现出自相似性时, 能量衰减律为$E(t)\sim {t^{ - 1}}$ (Oberlack 2002), 此时等同于假设特征雷诺数为不变量. 当湍流的长度尺度$L$ 守恒时, 能量衰减律为$E(t)\sim {t^{ - 2}}$ . 一般来说, 随着湍流耗散,$L$ 会随时间增长, 实验空间(Stalp et al. 1999)或者计算域(Teitelbaum & Mininni 2009)限制其增长可能会造成$L$ 守恒. 另外, 从卡门-豪沃斯方程的特定不变量的角度考虑, 也可以提出几种可能性. 具体来说, 大尺度能谱可以被展开为如下形式$$\left.\begin{aligned} & E(k, t)=\frac{2}{\pi} I_{{\mathrm{B S}}}(t) k^2+\frac{1}{3 \pi} I_L k^4+\cdots \\ & I_{{\mathrm{B S}}}=u^{\prime 2} \int_0^{\infty} r^2\left(3 f(r, t)+r \frac{\partial}{\partial r} f(r, t)\right) {\mathrm{d}} r \\ & I_{\mathrm{L}}=u^{\prime 2} \int_0^{\infty} r^4 f(r, t) {\mathrm{d}} r \end{aligned} \right\}$$ (17) 其中
${I_{{\mathrm{BS}}}}$ 与${I_{\mathrm{L}}}$ 分别代表Birkhoff-Saffman不变量(Birkhoff 1954, Saffman 1967)与Loitsiansky不变量(张兆顺 等 2005). 前者是动量守恒导出的结果, 后者则意味着角动量守恒. 当${I_{{\mathrm{BS}}}} = 0$ 时, 此时能谱$E(k)\sim {k^4}$ ,${I_{\mathrm{L}}}$ 是影响衰减律的守恒量. 然而, 在某些情形下, 当某些情形下, 如果两点相关衰减地比${r^{ - 3}}$ 慢,${I_{\mathrm{L}}}$ 发散, 而${I_{{\mathrm{BL}}}}$ 是重要守恒量, 此时能谱$E(k)\sim {k^2}$ . 在这两种情形下, 总能量$E(t)$ 与总螺旋度$H(t)$ 的衰减律分别为(Levshin & Chkhetiani 2014)$$ \left. \begin{gathered} E(t)\sim {t^{ - 10/7}},\quad {\text{ }}H(t)\sim {t^{ - 5/3}},\quad {\text{ }}{I_{\mathrm{L}}} = {\text{const}} \\ E(t)\sim {t^{ - 6/5}},\quad {\text{ }}H(t)\sim {t^{ - 3/2}},\quad {\text{ }}{I_{{\mathrm{BS}}}} = {\text{const}} \\ \end{gathered} \right\} $$ (18) 以上为通过守恒量给出的预测结果, Panickacheril John 等 (2022)对已有实验、模拟的结果进行了统计, 并通过大量数值模拟考察了不同能谱标度、不同加力尺度、不同耗散率时的衰减律, 确认了上述大尺度能谱与耗散率之间的联系. 总的来说, 在螺旋湍流的自由衰减中, 螺旋度在前期会对能量的衰减起到阻碍作用, 这是螺旋度抑制非线性作用的体现; 并且, 螺旋度本身的耗散要比能量更快, 在螺旋度被消耗到一定程度后, 能量的衰减律不再受到螺旋度的影响.
在本节, 我们首先通过Lamb矢量、守恒特性、螺旋波分解三方面总结了螺旋度对能量级串的影响以及螺旋度本身的级串特性. 随后, 我们讨论了更定量一些的结果, 包括螺旋湍流的标度律、空间/尺度局部性, 以及螺旋湍流的衰减律. 通过以上阐述与总结, 我们发现, 螺旋度虽然在对湍流的平均能量级串与标度影响不大, 但是对湍流中的局部能量级串具有重要影响. 特别的, 螺旋度的同手性三波交互是流动二维化之外的一大重要反向级串机制, 也是反向散射的重要来源. 另一方面, 螺旋度的存在阻碍了三维湍流衰减的早期进程. 总的来说, 螺旋度的守恒为湍流提供了新的标度与新的限制, 为湍流的建模与封闭提供了更丰富的角度. 在下一节, 我们会将重点放在螺旋度或者其他螺旋不变量与旋转、电磁等因素的耦合作用. 当引入新的物理作用时, 我们会发现, 螺旋度引起的复合效应会对湍流的发展与演化造成额外的重要影响.
2.3 旋转湍流中的螺旋度
旋转效应广泛存在于地球物理(Pouquet & Marino 2013)、天体物理(Cho 2008)以及工程应用(Yang et al. 2010)中. 在旋转湍流中常常伴随着高螺旋度, 同时能量既存在正向级串, 也存在反向级串. 并且, 旋转也引入了各向异性, 使得其动力学变得十分复杂. 针对旋转湍流的级串特性, 研究者们采取快慢分解(Waleffe 1993, Chen et al. 2005, Buzzicotti et al. 2018)、螺旋波分解(Buzzicotti et al. 2018)以及壳-壳能量输运(Mininni et al. 2009), 环-环能量输运(Sharma et al. 2019)等方法进行了研究. Waleffe (1993)发现, 在快速旋转极限下 (
$\Omega \to \infty $ ), 非共振三波交互衰减为0. 这意味着能量仅通过共振的三波交互向垂直于旋转轴方向上的波矢量进行输运, 即流动在平行旋转轴方向上的脉动减少, 形成了大尺度结构, 流动发生准二维化. Chen等(2005)进一步通过直接数值模拟中的快慢分解确认了这一理论的可靠性, 并且发现在反向级串区域能谱标度为${k^{ - 3}}$ , 通过螺旋波分解, Buzzicotti 等 (2018)测量了同手性和异手性的三波交互效应, 发现了在大波数处同手性三波交互占据主导, 代表此处同手性三波交互是反向级串的主要诱因; 在小波数处, 同手性、异手性三波交互均较为重要, 代表此处流动反向级串主要是由流动二维化所引起的. 针对湍流的标度律, Zhou (1995)通过唯象模型推导了${k^{ - 2}}$ 的能谱, 这一点通过数值模拟(Yeung & Zhou 1998, Mininni et al. 2012)与实验(Baroud et al. 2002)得到了确认. 然而, 波湍流理论(Galtier 2003)与大涡模拟(Yang & Domaradzki 2004)都揭示, 在大雷诺数、小Rossby数 (强旋转效应) 以及长时间演化下, 会出现${k^{ - 3}}$ 能谱.Lilly (1986)发现, 螺旋度对高强度雷暴的稳定性具有重要作用. 事实上, 在类似极端天气中, 存在轴向的气流运动, 流线为绕着核心的螺旋线, 这种流动状态为可以被模化为具有螺旋度的旋转湍流, 可以称之为螺旋旋转湍流, 如图9(a)所示. 在旋转湍流中, 除去上一节中讨论的影响之外, 螺旋度对标度律、局部性, 以及衰减律等造成了额外的极大影响. Mininni和Pouquet (2009)通过唯象模型, 针对旋转湍流中能量与螺旋度的联合级串提出了联合谱标度:
$E(k)H(k)\sim {k^{ - 4}}$ . Galtier (2014)提出了各向异性的谱标度:$ E(k)H(k)\sim k_ \bot ^{ - 4}k_\parallel ^{ - 1} $ . 这两个联合标度十分重要. 如果同时考虑$E(k)H(k)\sim {k^{ - 4}}$ 与$|H(k)| \leqslant kE(k)$ , 可以导出$E(k)\sim {k^{ - n}}$ 中$n \leqslant 2.5$ . 螺旋旋转湍流不可能出现无螺旋、强旋转时${k^{ - 3}}$ 能谱, 这意味着螺旋度在某种程度上可能会阻碍旋转湍流的过度二维化与反向级串. Hu 等 (2022)针对此现象进行了大量直接数值模拟, 发现螺旋度确实阻碍了能量的反向级串. 这主要是通过对异手性反向级串的抑制得以实现. 而事实上, 上一节在关于螺旋波分解的讨论中, 我们提到, 同手性反向级串是三维湍流中反向级串的重要机制, 是由于单个三波交互中螺旋度的正定性引起的. 此处出现的异手性反向级串机制有所不同, 是由于旋转引起的流动二维化导致的. 螺旋度的存在会破坏流动的二维化进程, 进而抑制旋转湍流的反向级串. 总的来说, 螺旋度一方面通过同手性三波交互引起能量的反向级串, 这是一般三维湍流中的通用机制; 另一方面通过抑制流动二维化, 控制旋转引起的异手性三波交互造成的反向级串. 随后考虑旋转湍流中的自由衰减特性, Morinishi 等 (2001)发现, 在自由衰减的湍流中, 螺旋度与旋转共同阻碍了湍流的衰减, 这分别是通过非线性抑制效应与流动二维化实现的. 定量地, Teitelbaum和Mininni (2009)发现, 不考虑螺旋度与旋转时, 衰减率为${t^{ - 2}}$ ; 仅考虑旋转效应时, 衰减律为${t^{ - 1}}$ ; 同时考虑螺旋度与旋转效应时, 衰减律达到了${t^{ - 1/3}}$ . 与无旋转时的结果不同, 螺旋度不仅对湍流衰减初期有所影响, 而且对后期标度律阶段湍流的维持也起到了重要作用.
图 9 带有螺旋度的典型旋转湍流. (a) 螺旋旋转湍流(Hu et al. 2022), (b) 旋转壁湍流(Hu et al. 2024), (c) 旋转射流(Luginsland et al. 2016)在实际工程应用中, 旋转效应广泛存在于各种叶轮机械中, 在机械能与内能的互相转换中起到了十分重要的作用(Liu et al. 2020), 带有旋转效应的槽道湍流常常被作为简化模型, 如图9(b)所示. 在旋转壁湍流中, 旋转效应与边界层的耦合作用会导致流动的手性破缺, 进而引起非零的平均与脉动螺旋度. Yang 等 (2010)针对槽道计算域构建了新的螺旋波基函数, 并针对流向旋转槽道湍流进行了螺旋波分解. 基于此基函数, 可以对槽道湍流进行尺度分解, 进而从新的角度来研究槽道湍流中的尺度动力学. Yang 等 (2010)发现, 在流向旋转槽道湍流中, 两个手性的能量输运过程具有不同的标度律, 右手性为
${k^{ - 5/3}}$ 标度, 左手性为${k^{ - 2}}$ 标度. 这意味着旋转的影响在此处主要是与速度的左手性分量的演化相关. 并且, Yang 等 (2010)基于螺旋波分解导出了流向旋转槽道中的无黏惯性波解, 进而确认了流动存在反向的二次流, 这是流向旋转槽道中的一个备受关注的现象. 这一组螺旋波基函数也被应用到了展向旋转的槽道湍流中, Yang 等 (2012)以此为基础进行尺度分解, 针对Taylor-Golter涡与反向级串的机制进行了详细讨论. 类似的, Yang 等 (2015)进一步针对柱坐标建立了一组螺旋波基函数, 并在此基础上推导了速度剖面的无黏惯性波解. 考虑螺旋度本身的级串特性, Yu 等 (2022)研究了流向旋转槽道湍流的螺旋度的空间和尺度分布、各向异性和跨尺度输运, 发现了黏性子层处的螺旋度峰值. 螺旋度级串的第二通道相对于第一通道占主导地位, 主要是由涡拉伸引起的. 考虑到结构函数包含了尺度的积分, Hu 等 (2024)推导了螺旋度的微分结构函数方程$$ \begin{array}{l}\dfrac{\partial }{\partial {r}_{1}}\dfrac{\partial }{\partial t}\delta {u}_{i}\delta {\omega }_{i}=-\dfrac{\partial }{\partial {r}_{1}}\delta {u}_{i}\delta {u}_{j}\dfrac{\partial \langle {W}_{i}^{\ast }\rangle }{\partial {X}_{j}}-\dfrac{\partial }{\partial {r}_{1}}(\delta {\omega }_{i}\delta {u}_{j}-\delta {u}_{i}\delta {\omega }_{j})\dfrac{\partial \langle {U}_{i}^{\ast }\rangle }{\partial {X}_{j}}\\ \text{ }-\dfrac{\partial }{\partial {r}_{1}}\dfrac{\partial }{\partial {r}_{j}}(\delta {u}_{i}\delta {\omega }_{i}\delta {u}_{j}) + \dfrac{1}{2}\dfrac{\partial }{\partial {r}_{1}}\dfrac{\partial }{\partial {r}_{j}}(\delta {\omega }_{j}\delta {u}_{i}\delta {u}_{i})-\dfrac{\partial }{\partial {r}_{1}}\dfrac{\partial }{\partial {X}_{j}}({u}_{j}^{\ast }\delta {u}_{i}\delta {\omega }_{i}) + \dfrac{1}{2}\dfrac{\partial }{\partial {r}_{1}}\dfrac{\partial }{\partial {X}_{j}}(\delta {u}_{i}\delta {u}_{i}{\omega }_{j}^{\ast })\\ \text{ }-\dfrac{1}{\rho }\dfrac{\partial }{\partial {r}_{1}}\dfrac{\partial }{\partial {X}_{j}}(\delta {\omega }_{j}\delta p) + 2\nu \dfrac{\partial }{\partial {r}_{1}}\dfrac{{\partial }^{2}(\delta {u}_{i}\delta {\omega }_{i})}{\partial {r}_{j}\partial {r}_{j}} + \dfrac{\nu }{2}\dfrac{\partial }{\partial {r}_{1}}\dfrac{{\partial }^{2}(\delta {u}_{i}\delta {\omega }_{i})}{\partial {X}_{j}\partial {X}_{j}}\\ \text{ }-4\dfrac{\partial }{\partial {r}_{1}}{\varepsilon}^{H\ast } + 2\Omega \dfrac{\partial }{\partial {r}_{1}}(\delta {\omega }_{2}\delta {u}_{3}-\delta {u}_{2}\delta {\omega }_{3} + \delta {u}_{k}\delta \dfrac{\partial {u}_{k}}{\partial {x}_{1}})\end{array} $$ (19) 其中,
${\boldsymbol{U}}$ 与${\boldsymbol{W}}$ 分别为平均速度矢量与平均压力矢量,$ {\varepsilon}^{H} $ 为螺旋度耗散, “$ * $ ”代表两点上物理量的平均值. Hu 等 (2024)基于此方程分析了旋转槽道湍流中螺旋度的多尺度分布以及与涡结构的联系, 发现了旋转与对流的对抗机制, 以及螺旋度对近壁条带以及对数区内的重要表征作用. 在流向旋转槽道湍流中, 旋转效应的影响深入到黏性底层, 动摇了经典的近壁动力学. 这一过程可通过螺旋度表征, 这体现了螺旋度在针对类似的手性破缺壁面流动的建模中的优越性. 另外, 在自然界中, 螺旋度被认为在大气埃克曼层中起着关键作用. 事实上, 这一流动是法向旋转的壁湍流. Deusebio和Lindborg (2014)发现, 压力通量会注入螺旋度, 在对数区内出现了正螺旋度的级串, 与Koprov 等 (2005)的大气边界层测量结果一致.螺旋度在旋转射流 (图9(c)) 的稳定性方面也起到了十分重要的作用. 旋转射流主要应用在旋流燃烧器中, 加强了燃料与空气混合效率以及火焰的稳定性(Chigier & Chervinsky 1967, Boileau et al. 2008), 但也对结构热防护提出了挑战(王革 等 2008). 当旋转很强时, 旋涡破碎, 会产生强回流区以及强径向扩散率(Billant et al. 1998, Lucca-Negro & O'doherty 2001), 螺旋不稳定性在其中占据主导地位(Gallaire & Chomaz 2003). 在涡破碎后, 螺旋模态
$n = + 1, + 2$ 相互竞争, 其中$n = + 1$ 最不稳定, 且其饱和幅值线性依赖于临界旋流参数, 这被认为是超临界Hopf分岔(Huerre & Monkemitz 1990). 随后Müller 和 Kleiser(2008)通过对$Ma = 0.6$ 的旋转射流进行模拟以及线性稳定性分析发现, 涡破碎后反转、共缠的单螺旋和双螺旋不稳定性主导了流场的发展. 与实验结果对比(Liang & Maxworthy 2005), 涡破碎更快, 且射流中心主流速度减速更强, 这被认为是可压缩效应的影响(Müller & Kleiser 2008). Hiejima (2015a, 2020)研究了超声速旋转射流中的螺旋不稳定性, 认为负螺旋度会影响周向的涡量厚度, 进而导致流动的失稳.2.4 磁流体湍流中的螺旋不变量
磁流体 (magnetohydrodynamic, MHD) 湍流也是一类典型的具有手性的流动, 其常常出现于日冕爆发等太阳活动(Bhattacharjee 2004, Cassak et al. 2005)、行星磁层演化(Dorelli et al. 2015)、恒星形成(Norman & Heyvaerts 1985, Marchand et al. 2019)等天体活动中, 也是空间电推进(Ebrahimi 2020)、可控核聚变(Ebrahimi et al. 2014)等工程应用中的重要模型. 不同的是, 在磁流体湍流中, 纯流体中的流动螺旋度不再守恒. 除去能量之外, 在经典MHD湍流中, 守恒量为磁螺旋度
${H_{\mathrm{M}}}$ 与交叉螺旋度${H_{\mathrm{C}}}$ ; 在霍尔MHD湍流中, 守恒量为磁螺旋度${H_{\mathrm{M}}}$ 与广义螺旋度${H_{\mathrm{G}}}$ , 定义如下(Galtier 2016)$$ {H_{\mathrm{M}}} = \int_{}^{} {{\boldsymbol{b}} \cdot {\boldsymbol{a}}{\text{ d}}V} {\text{, }}{H_{\mathrm{C}}} = \int_{}^{} {{\boldsymbol{v}} \cdot {\boldsymbol{b}}{\text{ d}}V} ,{\text{ }}{H_{\mathrm{G}}} = \int_{}^{} {\Upsilon \cdot \Omega {\text{ d}}V} $$ (20) 其中,
${\boldsymbol{b}}$ 是磁场,${\boldsymbol{a}}$ 是磁场的矢量势 (${\boldsymbol{b}} = \nabla \times {\boldsymbol{a}}$ ),$\Omega = {\boldsymbol{b}} + {d_I}{\boldsymbol{\omega }}$ 是广义涡量,$Y$ 是广义涡量的矢量势 ($\Omega = \nabla \times \Upsilon $ ),${d_{\mathrm{I}}}$ 是离子惯性尺度. 这三种螺旋不变量的物理含义与流动螺旋度的物理含义类似.${H_{\mathrm{M}}}$ 代表了磁力线之间链接数的加权和;${H_{\mathrm{C}}}$ 代表了磁力线、涡线之间链接数的加权和;${H_{\mathrm{G}}}$ 代表了广义涡量线之间的链接数的加权和. 同样的, 由于能量是磁螺旋度的高阶量且具有守恒特性, 磁螺旋度${H_{\mathrm{M}}}$ 只具有反向级串; 交叉螺旋度${H_{\mathrm{C}}}$ 主要为正向级串; 而广义螺旋度${H_{\mathrm{G}}}$ 可以被拆分为流动螺旋度、磁螺旋度、交叉螺旋度三者通过${d_{\mathrm{I}}}$ 的加权和, 所以同时存在正向与反向级串(Alexakis & Biferale 2018).这里简要介绍一下这几种螺旋度的应用场景. 磁螺旋度的应用主要在于两方面, 一方面来说, 磁螺旋度代表了磁场线的拓扑结构, 在磁重联 (即磁场的断开与重联) 过程中, 磁螺旋度是重要的特征量与守恒量. 磁重联过程是磁流体相关研究中非常重要的动力学过程, 例如日冕爆发就是典型的磁重联过程(Zweibel & Yamada 2009), 如图10(a)所示. 在日冕爆发时, 磁场断开、重联, 在此过程中形成封闭的等离子体团, 通过磁重联得到的大量动能被抛射出去. 这一原理在托卡马克初始磁场的形成过程、新概念高比冲等离子体电推进器等领域都具有潜在应用价值(Ebrahimi et al. 2014). 在这一过程中, 磁螺旋度扮演了重要角色, 是重要的守恒量与特征量, 其重要的研究背景使得其十分值得研究. 另一方面, 能量守恒会造成磁螺旋度的反向级串. 磁螺旋度反向级串的同时, 不可避免地会引起大尺度磁场的形成与发展, 进而附带小部分能量的反向级串, 这被认为在行星磁场的生成过程中起到了重要作用(Müller et al. 2012, Richner et al. 2022). 并且, 在霍尔MHD湍流中 (图10(b)), 霍尔效应会自发诱导出手性破缺, 右手脉动与磁螺旋度有关, 导出
${k^{ - 7/3}}$ 的能谱, 与电子MHD假设的预测一致, 左手脉动与广义螺旋度有关, 导出${k^{ - 11/3}}$ 的能谱, 与离子MHD假设一致(Meyrand & Galtier 2012). 随后考虑交叉螺旋度, 交叉螺旋度的应用通常和非线性项有关, 磁场演化方程中非线性项为$\nabla \times ({\boldsymbol{v}} \times {\boldsymbol{b}})$ , 这意味着, 交叉螺旋度越强, 非线性作用越弱. 交叉螺旋度对湍流的影响在太阳风的观测中得到确认. 例如, Smith 等 (2009)发现, 当交叉螺旋度较强时, 会出现能量的反向级串. Marino 等 (2012)发现交叉螺旋度会影响太阳风中湍流出现的概率. 交叉螺旋度越强, 湍流出现的概率越小. 事实上, 太阳风是天然的等离子体湍流实验室. 由于在宇宙中, 针对太阳风的观测大多只能得到单点时序数据, 那么两点相关与结构函数一类的方法就显得尤为重要. 针对等离子体湍流, 也有类似于式 (12) 的三阶结构函数标度律, 例如Politano-Pouquet标度律(Politano & Pouquet 1998). 这一标度结合Taylor冻结假设可以识别太阳风中的湍流, 通过这种方式研究湍流特征及与其他特征量的关系. 进一步地, 通过放松假设可以导出各向异性的(Wan et al. 2009)、可压缩的(Ferrand et al. 2022)、或者磁螺旋度相关(Politano et al. 2003)的三阶结构函数律. 更详细的内容可参考最近关于等离子体湍流中三阶结构函数律的综述(Marino & Sorriso-Valvo 2023).
2.5 可压缩湍流中的螺旋度
早期开展的螺旋度与湍流的相关研究主要是针对不可压湍流的. 近年来, 由于航空航天领域的需求, 可压缩湍流的研究越来越受到重视. 在实际流动中, 无论是高速飞行器表面的横流转捩(杜一鸣 等 2023), 还是航空发动机燃烧室内的螺旋不稳定性(Gallaire & Chomaz 2003), 亦或是托卡马克中的电磁场的形成与维持过程(Ebrahimi et al. 2014), 螺旋度都起到了重要作用. 并且, Andreopoulos (2008)通过实验发现, 可压缩效应的引入促进了流场中涡结构的形成与发展, 诱导出大量的螺旋状流动结构. 因此, 有必要针对可压缩湍流中的螺旋度开展研究. 图11给出了可压缩螺旋湍流中的流动结构.
图 11 可压缩螺旋湍流中的速度散度(Yan et al. 2019)在可压缩湍流中, 由于流体的胀压效应, 速度不再满足无散特性. 甚至当Mach数 (特征速度与声速之比) 足够大时, 流场中会出现激波或接触间断等间断面, 对涡结构的形成与发展, 乃至与间歇性等特征造成重要影响. 与不可压缩湍流的情形相比, 可压缩湍流研究主要着眼于压力、胀压效应等对湍流级串、统计特性以及流动结构的影响. 在可压缩湍流中, 压力项会作为源项破坏了动能的无黏守恒性特征. 针对压力的影响, Aluie (2011)通过压力速度散度协同谱分析方法预测压力膨胀项的尺度行为, 得到压力项统计意义上只在大尺度上起作用的结论, 成功将不可压缩的动能级串理论推广到可压缩湍流中. Suman和Girimaji (2010, 2012, 2013)研究了可压缩湍流中 pressure-hessian 张量对速度梯度动力学的影响, 发现随着压缩性的增强, pressure-hessian 张量的特征方向倾向于沿着应变率主轴方向; 后续又系统研究了可压缩均匀各向同性湍流中马赫数、雷诺数对速度梯度动力学的影响, 及速度梯度张量三个不变量及流动拓扑结构特征. Eyink和Drivas (2018)发现除去局部级串以外, 压力做功效应是引起湍动能耗散异常的另一重要机制. 针对胀压效应, Moyal (1952)开创性地用亥姆霍兹分解方法把可压缩湍流的速度场分解为剪切部分与胀压部分来分别研究可压缩湍流的流场性质. Wang等(2010, 2012, 2017)通过大量可压缩各向同性湍流的直接数值模拟, 研究了速度场剪切模态和胀压模态的统计性质、动能级串过程、伪声模态和声模态对速度谱的影响以及流场的速度、压力、密度和温度的谱特性. 螺旋度与动能的动力学行为具有一定的相似性, 而不可压缩螺旋湍流中动能/螺旋度联合级串理论是否适用于可压缩螺旋湍流仍需要进行充分论证. 在可压缩螺旋湍流中压力项的存在也破坏了螺旋度的守恒性, 通过Favre滤波及协同谱分析方法, Yan 等 (2019)发现统计意义上压力的影响主要集中在大尺度上, 超过含能大尺度范围, 压力的影响几乎可以忽略不计, 这样基本确定了不可压缩螺旋湍流中的动能/螺旋度联合级串理论也可以适用于可压缩螺旋湍流. 而在动能方程中的压力膨胀共谱
${E^{PD}}(k)$ 和螺旋度方程中的压力涡量共谱${E^{PV}}(k)$ 中, 后者的有效作用范围更长, 衰减更慢. 这意味着螺旋度促进内能转化为动能, 却抑制动能转换为内能.在亥姆霍兹分解的基础上, 可进一步针对速度的无散分量进行螺旋波分解. 将此分解方案推广到可压缩湍流中, 被称为广义螺旋波分解(Yan et al. 2019). 速度可被分解为三个分量
$$ \widehat {\boldsymbol{u}}({\boldsymbol{k}}) = {\widehat u^ + }({\boldsymbol{k}}){{\boldsymbol{h}}^ + }({\boldsymbol{k}}) + {\widehat u^ - }({\boldsymbol{k}}){{\boldsymbol{h}}^ - }({\boldsymbol{k}}) + {\widehat {\boldsymbol{u}}^c}({\boldsymbol{k}}) $$ (21) 其中,
$ {\widehat u^ + }({\boldsymbol{k}}){{\boldsymbol{h}}^ + }({\boldsymbol{k}}) $ 为右手速度,$ {\widehat u^ - }({\boldsymbol{k}}){{\boldsymbol{h}}^ - }({\boldsymbol{k}}) $ 为左手速度, 二者表征速度场中的旋转部分;$ {\widehat {\boldsymbol{u}}^c}({\boldsymbol{k}}) $ 为无手性速度, 表征速度场中可压缩的部分. 在可压缩流动中, 也存在着动能与螺旋度的谱, 与不可压流动中的情形一致 (式 (14)) . 需要注意的是无手性分量满足${E^c}(k)\sim {k^{ - 2}}$ . Yan 等 (2020b)进一步研究了可压缩湍流中不同手性的动能和螺旋度间的输运过程. 事实上, 不可压和可压缩湍流中手性间输运的唯一区别在于速度的可压缩分量的介质作用. Yan 等 (2020b)发现相对于左、右手性两者间的非线性作用, 包含可压缩分量的三者间的非线性作用占据了主导, 且对可压缩性不太敏感. 通过可压缩分量进行的螺旋度输运很少, 但是通过可压缩分量进行的动能输运却很可观, 如图12所示. 并且, 反向螺旋度输运总是与可压缩分量相关. 具体来说, 相对于压缩过程, 流体微元的膨胀会加强反向螺旋度输运从而加剧手性破缺. Zhu (2021) 将局部螺旋流动等效为旋转流动, 进而根据Taylor–Proudman理论, 发现在有螺旋度的情况下, 流体的压缩性会受到一定程度抑制. 这一结果得到了Yang和Zhu (2022)的验证, 他们通过数值模拟发现有螺旋度和无螺旋度时大尺度动能谱的可压缩分量幂律指数存在11/15的差别. 以上结果一定程度上表明, 可压缩效应与螺旋度的分布存在联系, 螺旋度对可压缩湍流中的级串具有重要影响. 总的来说, 虽然近年来螺旋度的相关研究逐步拓展到可压缩流动中, 但是当前相关研究仍然十分少见. 有限的理论结果缺少实验与模拟验证, 而现有的数值分析结果也缺少进一步的理论支撑, 例如, 为何膨胀过程会加强手性破缺; 为何可压缩分量对动能与螺旋度级串的影响相差如此之多, 这其中反映了什么样的物理过程等等. 这些相关机理是将螺旋度的湍流模型拓展到可压缩流动中的重要前提, 有待进一步开展.
图 12 可压缩螺旋湍流中动能与螺旋度的输运(Yan et al. 2020b)随后考虑其他更为复杂一些的流动中可压缩效应与螺旋度的耦合作用. Hiejima (2015b)研究了旋转流动中可压缩效应的影响, 发现负螺旋度显著降低了流向涡的稳定性, 促使转捩过程中湍动能迅速增长. Yokoi和Brandenburg (2016)通过数值模拟, 对带有非均匀螺旋度可压缩和不可压缩流动进行分析, 发现非均匀螺旋度会对促进大尺度流动的产生. Moiseev和Chkhetiani (1996)针对可压缩分层流体, 通过分析类Hopf方程, 研究了平均螺旋度对动能级串的影响, 表明在大尺度区域形成了带有螺旋度和动能级串的自相似区域. 在此基础上得到了
$E\propto {{k}^{-7/3}}$ , 可压缩湍流中能谱有$E\propto {{k}^{-3}}$ . Yang和Zhu (2022)发现有螺旋度输入时, 湍流噪声也减小了3 dB. Koprov 等 (2015)针对大气湍流的速度、涡量、温度以及它们的梯度开展测量, 并通过后处理得到拟涡能与螺旋度的时空分布特征. 针对可压缩MHD湍流, 学者们通过三阶结构函数研究了可压缩MHD湍流中螺旋度、交叉螺旋度的影响(Politano et al. 2003, Hellinger et al. 2021, Montagud-Camps et al. 2022). 研究发现, 交叉螺旋度级串发展比能量级串更慢. 并且, 当存在强平均场时, 大尺度上存在能量和交叉螺旋度的反向级串. 这解释了太阳风到达后地磁暴持续时间较长、以及太阳风中湍流尺度的不规则变化等现象.3. 螺旋度与湍流建模
随着计算机技术的发展, 利用数值模拟来进行湍流的科学及工程问题的研究逐渐成为主流. 多数情况下, 直接数值模拟 (direct numerical simulation, DNS) 精度极高, 对湍流进行全解析求解, 可以帮助学者们洞察湍流中的几乎全部的流动细节. 但是, 流体力学学科的发展不能仅限于通过高精度数值方法模拟湍流, 也必然要求加深对湍流本质的认知, 抽象出湍流中的关键物理过程, 从理论上进行模型封闭. 另一方面, DNS虽然精度很高, 但却极为消耗计算资源, 不适用于高雷诺数的复杂湍流模拟以及工程应用. 因此, 需要通过湍流建模来解决计算资源消耗过大的问题. 螺旋度作为三维湍流中的二阶无黏不变量, 且可以反映湍流结构与动力学演化的过程, 在湍流建模中具有先天优势. 但目前, 利用螺旋度建模还相对较少, 湍流建模的关注点主要还是能量相关量. 在螺旋湍流中, 螺旋度会很大程度地影响湍流中大尺度结构的形成, 并抑制非线性能量输运. Linkmann (2018)通过静态、动态上界理论发现, 螺旋度会减弱湍流的大约
$10\% $ 的耗散. 这意味着针对具有高螺旋度的流动, 一般的涡粘模型会造成耗散的高估. 因此, 有必要针对高螺旋度等带有强手性破缺湍流建立适配的湍流模型. 下面, 我们将针对螺旋度的理论模型、雷诺平均统计模型、大涡模拟模型进行分别论述.3.1 螺旋湍流的理论模型
理论模型方面, 本文将简要介绍壳模型与涡阻尼马尔科夫正则近似两种模型. 壳模型 (shell model) 是一种确定的动力学模型, 其将所有动力学的相互作用集中于不同尺度的几个自由度中, 忽略这些作用的空间位置和大部分的三维矢量特征(Benzi et al. 1996), 用以针对湍流的标度律与间歇性的研究. Gledzer-Ohkitani-Yamada (GOY) 模型为其中较为成功的模型(Gledzer 1973, Yamada & Ohkitani 1988). 它对NS方程采取了截断, 将Fourier空间分解为若干波数
${k_m} = {k_0}{\lambda ^n}$ 和${k^{n + 1}}$ 间的壳层, 用其中一个模态${u_n}$ 作为该壳层的代表, 其中$\lambda > 1$ 为任意的尺度参数, 一般取2. 基于GOY模型, 学者们发现$p$ 阶结构函数的幂指数$\zeta (p)$ 并不恒为$p/3$ , 而是和耗散率$ \varepsilon $ , 尺度参数$\lambda $ 的取值有关(Kadanoff et al. 1994, Biferale et al. 1995), 这证明了间歇性的存在. Biferale认为这种间歇性来自螺旋度(Biferale & Kerr 1995). 随后螺旋波分解问世(Waleffe 1992), Biferale和Kerr (1995)根据此模型提出考虑三波交互的类GOY模型. L’vov 等 (1998)也对壳模型进行了改进, 提出了Sabra模型. Sabra模型具有比GOY模型更短程的关联. 因而其不仅具有GOY模型的优点, 可以用以表征多重标度律, 但不会产生周期震荡(孙鹏 2009). 之后Chen 等 (2003a)基于此, 提出了具有正负模态的Sabra3模型$$ \left. \begin{gathered} \frac{{{\mathrm{d}}u_n^ + }}{{{\mathrm{d}}t}} = i\left( {a{k_n}u_{n + 2}^ - {{\left( {u_{n + 1}^ + } \right)}^*} + b{k_{n - 1}}u_{n + 1}^ - {{\left( {u_{n - 1}^ + } \right)}^*} - c{k_{n - 2}}u_{n - 1}^ - u_{n - 2}^ - } \right)- \nu k_n^2{u_n} + f_n^ + \\ \frac{{{\mathrm{d}}u_n^ - }}{{{\mathrm{d}}t}} = i\left( {a{k_n}u_{n + 2}^ + {{\left( {u_{n + 1}^ - } \right)}^*} + b{k_{n - 1}}u_{n + 1}^ + {{\left( {u_{n - 1}^ - } \right)}^*} - c{k_{n - 2}}u_{n - 1}^ + u_{n - 2}^ + } \right)- \nu k_n^2{u_n} + f_n^ - \\ \end{gathered} \right\} $$ (22) 并在此基础上对于三维螺旋度湍流进行模拟, 得到的结果与直接数值模拟的结果一致. 基于壳模型, Sahoo等(2017)对完全发展的均匀各向同性湍流进行研究, 发现了在小尺度流动恢复镜像对称, 手性项仅起到次要作用. 而在磁流体领域, Lessinnes 等 (2009) 基于螺旋波分解中三波交互提出了一种适用于MHD湍流的壳模型, 用于对标度律与间歇性的建模研究.
另一方面, 采用准高斯近似假设 (quasi-Gaussian approximation, QGA) 也可对于均匀湍流进行模拟, 但结果表明大波数下螺旋度脉动远远大于QGA假设预测的结果(Polifke 1991). 于是, 在此模型的基础上, 引入弛豫时间, 称之为湍流涡阻尼准正则 (eddy-damped quasinormal markovian, EDQNM) 近似. 这是一种对于测试场模型 (test-field model, TFM) 的有效简化和近似. 其思想为使用速度的二阶矩对于速度的四阶矩进行近似, 并将准正则近似中被忽略的四阶累积量作为三阶项的阻尼(张兆顺 等 2005). 基于EDQNM假设, 能量正向级串(André & Lesieur 1977), 能谱与式 (14) 的结果一致. Briard 等 (2017)据此提出了一种修改后的EDQNM模型
$$ \left. \begin{gathered} \left[ {\frac{\partial }{{\partial t}} + 2\nu {k^2}} \right]E(k,t) = 16{\pi ^2}\int_\Delta {{\theta _{kpq}}\left[ {{k^2}{p^2}q(xy + {z^3})\mathcal{E}''(\mathcal{E}' - \mathcal{E})- {k^2}pz(x + yz)\mathcal{H}''(\mathcal{H}' - \mathcal{H})} \right]{\mathrm{d}}p{\mathrm{d}}q} \\ \left[ {\frac{\partial }{{\partial t}} + 2\nu {k^2}} \right]H(k,t) = 16{\pi ^2}\int_\Delta {{\theta _{kpq}}\left[ {{k^2}{p^2}q(xy + {z^3})\mathcal{E}''(\mathcal{H}' - \mathcal{H})- {k^2}pz(x + yz)\mathcal{H}''({p^2}\mathcal{E}' - {k^2}\mathcal{E})} \right]{\mathrm{d}}p{\mathrm{d}}q} \\ \end{gathered} \right\} $$ (23) 其中,
$x,y,z$ 是与$k,p,q$ 相关夹角的余弦; 能量$\mathcal{E} = E(k,t)/ 4\pi {k^2}$ ,$\mathcal{E}' = E(p,t)/ 4\pi {p^2}$ ,$ \mathcal{E}'' = E(q,t)/ 4\pi {q^2} $ ; 螺旋度$\mathcal{H} = H(k,t)/4\pi {k^2}$ ,$\mathcal{H}' = H(p,t)/4\pi {p^2}$ ,$ \mathcal{H}'' = H(q,t)/4\pi {q^2} $ . 弛豫时间${\theta _{kpq}}\left( t \right)$ 是$$ {\theta _{kpq}}\left( t \right) = \frac{{1 - \exp \left[ { - \left( {{\eta _k} + {\eta _p} + {\eta _q}} \right)t} \right]}}{{{\eta _k} + {\eta _p} + {\eta _q}}},{\text{ }}{\eta _k} = \lambda \sqrt {\int_0^k {{s^2}E(s){\text{d}}s} } + \nu {k^2} $$ (24) Briard 等 (2017)基于此模型验证了2.2节中的螺旋湍流的衰减律与标度律, 与直接数值模拟得到的结果一致.
3.2 螺旋湍流的雷诺平均统计模型
雷诺平均NS (Reynolds average Navier-Stokes, RANS) 方法通过把NS方程进行平均, 将湍流运动分解为统计平均量与脉动量的和. RANS方法得到的方程的雷诺应力项 (脉动速度二阶矩) 无法直接求解, 需对其进行建模封闭, 这一类模型被称为RANS模型. 目前, RANS模型为工业界中应用最为广泛的湍流模型, 具有计算速度快, 消耗资源少的优点.
早在1993年, 已有学者对于高螺旋度湍流的RANS模型进行了研究. Yokoi发现螺旋度能够作为手性破缺程度的定量表征, 并且螺旋度的不均匀性有助于维持三维平均流中的大尺度涡量场. 而后以此为基础, Yokoi提出了基于螺旋度的三方程模型(Yokoi & Yoshizawa 1993). 为我们所熟知, 流场中的螺旋度和非线性项具有相关性
${H^2} + {\left| {\omega \times {\text{u}}} \right|^2} = {u^2}{\omega ^2}$ , 因而可被用以在湍流模型中描述非线性作用导致的能量反向散射. 在此基础上, Liu 等 (2011)对于Spalart–Allmaras (SA) 模型中的生成项提出了螺旋度修正, 得到了螺旋度修正Spalart–Allmaras (helicity-corrected SA, HCSA) 模型$$ \left.\begin{gathered} P = {C_{b1}}\rho \widetilde S\widetilde \nu \\ \widetilde S = (1 + {C_{h1}}{h^{{C_{h2}}}})\omega + \frac{\nu }{{{k^2}{d^2}}}{f_{\nu 2}} \\ \end{gathered}\right\} $$ (25) 其中,
${C_{h1}}{h^{{C_{h2}}}}\omega $ 是螺旋度修正项,$h$ 是相对螺旋度,${C_{b1}}$ 、${C_{h1}}$ 和${C_{h2}}$ 是固定常数. 经过与其他模型以及实验数据的对比之后, Liu 等 (2011)发现其针对反向散射现象有较好的改进, 大大提升了压气机中流动分离的预测精度(Li & Liu 2019, 2022; Pela et al. 2023). 虽然该模拟可以得到较好的改进效果, 但通过分析发现该模型并不满足伽利略不变性的条件, 使用时需要在相对坐标系中的求解. Yu将其移植至OpenFOAM并验证了HCSA在不可压缩流中预测失速和分离时相较SST模型和SA模型具有优势(Yu et al. 2023, Yu & Defoe 2024), 并应用该模型, 对轴流风扇/压缩机的失速点进行了预测. 两方程模型方面, Liu 等 (2020)采用与HCSA模型相同的方法, 在切应力输运模型 (shear stress transport, SST) 的基础上, 利用螺旋度进行了修正, 在湍动能的生成项中添加了一项同样的螺旋度修正项, 得到螺旋度修正的切应力输运模型 (shear stress transport with helicity correction, SST-helicity). Sun (2023)使用该模型对压气机进行了模拟, 如图13所示, 发现该模型更好地建模了流动对气动参数展向分布的影响. Sun (2022)结合压气机中的非平衡性和各向异性修正, 提出了NSST-Helicity-QCR模型, 并能够合理捕捉压气机端区的流动机理, 但仍然有低估角区分离区内的湍流各向异性行为的问题. 此外, 基于螺旋度对于雷诺应力方程中压力项的影响, Inagaki (2018)对旋转压力项模化, 提出了如下新模型, 见式(26), 并在旋转湍流中其有效性得到验证$$ \left\langle u'_zp^{{\varOmega}'}\right\rangle=-C_{\mathrm{PDH}}\frac{K^3}{\varepsilon^2}H2{\varOmega}^F $$ (26) 另一方面, 转捩的数值模拟一直是流体力学研究的难点和重点问题. 由于转捩的物理机理极为复杂, 但转捩又是许多飞行器内外绕流的极为重要的过程(姚冉 2021), 转捩模型亦得到学者的广泛研究. Langtry (2015)提出螺旋度能够作为横流的一种量度, 后续学者又发现基于螺旋度计算得到的参数
${R{\mathrm{e}}_H}$ 被认为在探测边界层中的横流有重要意义(Müller-Schindewolffs & Herbst 2014). 为此, 亦有许多学者基于螺旋度提出了转捩模型. Müller-Schindewolffs和Herbst (2014)修正了$\gamma - {R{\mathrm{e}}_\theta }$ 模型, 在现有$\tilde {R{\mathrm{e}}_\theta }$ 的输运方程中额外添加了一项生成项$$ {P_{{\mathrm{CF}}}} = - \min \left( {\max \left[ {0,\left( {\frac{\rho }{{1000 \cdot t}} \cdot {{\left( {\frac{{{R{\mathrm{e}}_H}}}{6}} \right)}^{{c_1}}} \cdot {{\left( {{R{\mathrm{e}}_\Omega }} \right)}^{{c_2}}} \cdot {{\left( {\frac{{12\theta }}{y}} \right)}^{{c_3}}} - {c_4}} \right)\cdot {c_5}} \right],{c_6}} \right) $$ (27) 其中, 雷诺数由动量损失厚度和局部螺旋度决定
$$ {R{\mathrm{e}}_H} = \frac{\theta }{\nu }\sqrt {\theta H} $$ (28) 此外也有学者基于螺旋度修正LCTM (Grabe et al. 2018), 提出新的转捩模型. 经过对比发现(Müller-Schindewolffs & Herbst 2014)所提出的螺旋度修正相较于Langtry (2015)和Grabe et al. (2018)提出的模型在3D流动中准确性更高. 然而, 即使如此, 上述引入螺旋度的RANS模型均未能克服无法保持伽利略变换不变性的问题, 这可能限制了这些基于螺旋度的RANS模型在运动坐标系中的应用.
3.3 螺旋湍流的大涡模拟模型
RANS模型的计算速度快, 但仅能得到时均场, 流动结构信息过少, 对一些复杂流动并不能得到比较好的模拟结果. 大涡模拟 (large-eddy simulation, LES) 是一种介于RANS与DNS之间的有效求解NS方程的工具. 其通过滤波方法, 将小于滤波尺度的流场进行模化, 而将大于滤波尺度的流场进行直接求解. 针对不可压湍流, 将NS方程 (式 (5)) 进行滤波, 大涡模拟的控制方程如下
$$ \left.\begin{gathered} \frac{{\partial {{\bar u}_i}}}{{\partial {x_i}}} = 0 \\ \frac{{\partial {{\bar u}_i}}}{{\partial t}} + \frac{{\partial {{\bar u}_i}{{\bar u}_j}}}{{\partial t}} = - \frac{{\partial \bar p}}{{\partial {x_i}}} + \nu \frac{{{\partial ^2}{{\bar u}_i}}}{{\partial {x_j}\partial {x_j}}} + {{\bar F}_i} - \alpha {{\bar u}_i} - \frac{{\partial {\tau _{ij}}}}{{\partial {x_j}}} \\ \end{gathered} \right\}$$ (29) 其中, 上标“
$ - $ ”代表利用一个平滑的低通滤波函数${G_\Delta }({\boldsymbol{r}})$ 在$\Delta $ 尺度上对流场进行滤波. 例如, 滤波后的速度场可表示为$ {\bar u_i}({\boldsymbol{x}}) = \int {{G_\Delta }({\boldsymbol{r}}){u_i}({\boldsymbol{x}} + {\boldsymbol{r}})} $ . 另外,$ {\tau _{ij}} = \overline {{u_i}{u_j}} - {\bar u_i}{\bar u_j} $ 表示由滤波的小尺度流场信息所产生的亚格子应力项. 而不可压湍流中的大涡模拟模型的目标就是针对${\tau _{ij}}$ 进行建模封闭.常用的亚格子应力模型包括谱空间模型、涡粘模型、结构模型等. 谱空间模型 (如Chollet-Lesieur模型(Chollet & Lesieur 1981)) 主要是基于典型分析 (canonical analysis), 理论基础较好, 考虑了波数的影响, 但大多应用于均匀湍流中. 涡粘模型是最被广泛使用的一类模型, 主要思想是把亚格子尺度的湍流扩散类比于分子扩散. Smagorinsky模型(Smagorinsky 1963)是最早的涡粘模型, 其缺点在于无法考虑大尺度间歇性以及较弱的湍流, 并且只确保了能量输运总量的正确性, 并没有确保空间局部能量输运的准确性. 在这之后, 又陆陆续续发展了近壁修正、动态模式方法、两点封闭模型, 单方程模型等模型(Sagaut 2005). 结构模型主要包含了相似性模型与梯度模型. 相似性模型(Liu et al. 1994)基于尺度相似性假设, 即把能谱分为任意数量的带, 假设由相邻的带的速度场所建立的张量的特定元素相同. 此类方法得到的亚格子应力与真实亚格子应力相关性很高, 但缺点在于模型的数值稳定性较差.
在螺旋湍流或者其他具有明显的手性不对称的流动中, 传统的涡粘模型极大低估了螺旋度的耗散, 最高约40% (Li et al. 2006). 而针对螺旋湍流独特的物理性质, 许多学者提出了新的LES模型. Li 等 (2006) 针对螺旋湍流在单项涡粘模型的基础上引入了反映螺旋度亚格子耗散的项建立了一个两项亚格子应力模型. 但是, 这类模型针对螺旋度谱与螺旋度衰减律的预测精度改善并不明显. Yu和Xiao (2013)针对此两项模型进行分析, 发现缺陷在于第二项的系数在惯性子区并不具有尺度不变性, 于是通过引进伪泰勒微尺度λΔ对此项进行修正并对亚格子螺旋度耗散进行约束得到了一个新的两项模型
$$ \tau _{ij}^{{\mathrm{mod}}} = {C_1}{\Delta ^2}\left| {\bar S} \right|{\bar S_{ij}} + {C_2}\lambda _\Delta ^2\Delta \left| {\bar S} \right|{\bar R_{ij}} $$ (30) 其中,
${\bar S_{ij}}$ 是滤波后的应变率张量,$|\bar S|$ 为其模;${\bar R_{ij}}$ 是对称涡梯度张量;${C_1}$ 与${C_2}$ 是模型系数, 可通过先验分析或动态模式确定; 第一项为传统涡粘模型, 第二项与螺旋度的耗散、级串相关项. 该模型针对螺旋度级串的预测效果以及局部能量反向散射事件的改善均有所贡献. 更进一步地, Yu 等 (2014)在两项亚格子应力模型的基础上, 引入基于梯度模型的新子项, 并通过亚格子能量耗散与螺旋度耗散进行双重约束. 在往常模型的基础上, 进一步改善了能谱、螺旋度谱、高阶统计量的预测结果.另一方面, Yu 等 (2013)单纯从螺旋度级串与耗散的角度出发, 提出基于螺旋度级串特性的单项亚格子应力模型
$$ \tau _{ij}^{{\mathrm{mod}}} = - 2{C_r}{\Delta ^{5/2}}|2{\bar S_{ij}}{\bar R_{ij}}{|^{1/2}}{\bar S_{ij}} $$ (31) 并将其拓展到可压缩湍流中, 在可压缩圆柱绕流流动中得到了较好的验证. Zhou 等 (2019a)将该模型进一步在其他可压缩湍流问题中进行了推广, 并对亚格子应力张量的各向同性部分进行了修正, 使整个模型理论上可以正确的预测可压缩边界层转捩问题
$$ \left. \begin{gathered} \tau _{ij}^{{\mathrm{mod}}} = - 2\bar \rho {C_r}{\Delta ^{5/2}}{{\tilde S}_{SR}}({{\tilde S}_{ij}} - \frac{1}{3}{{\tilde S}_{kk}}{\delta _{ij}}) + \frac{2}{3}\bar \rho {C_{ir}}{\Delta ^3}\tilde S_{SR}^2{\delta _{ij}} \\ {Q_j} = - {C_r}\frac{{{C_p}\bar \rho {\Delta ^{5/2}}{{\tilde S}_{SR}}}}{{P{r_t}}}\frac{{\partial \tilde T}}{{\partial {x_j}}} \\ \end{gathered} \right\} $$ (32) 其中, ~代表Favor平均,
$ {\tilde S_{SR}} = |2{\tilde S_{ij}}{\tilde R_{ij}}{|^{1/2}} $ ,$P{r_t}$ 是普朗特数. 通过在可压缩平板边界层流动中适用性的检验, 发现相对与壁面自适应局部涡粘 (wall-adapting local eddy-viscosity, WALE) 模型与动态Smagorinsky模型, 该螺旋度模型能更加准确地预测转捩的开始、峰值, 以及其他主要统计量. 例如, 图14给出了边界层转捩过程中各个模型的表现. 给予螺旋度的模型在转捩峰值、转捩位置等方面均有相对较好的表现.
图 14 边界层转捩中模型效果比较(Zhou et al. 2019b). DNS为直接数值模拟结果, CSM与DSM分别是常系数与动态Smagorinsky模型, CHM与DHM分别是常系数与动态螺旋度模型, WALE是壁面自适应局部涡粘模型更进一步地, Qi 等 (2021)推导了基于亚格子螺旋度的一方程模型, 并通过梯度展开对未封闭项进行建模, 得到了亚格子螺旋度的一方程模型. 相对传统模型, 该模型能捕捉更精细的涡结构, 提供更准确的亚格子耗散估计, 进而能得到更准确的平均统计量. 近年来, 随人工智能技术的发展, 亦有基于人工神经网络 (artificial neural networks, ANNs) 发展而来的湍流模型. Liu 等 (2023)基于人工神经网络提出了一种针对可压缩管道湍流的LES模型. 通过约束螺旋度通量, 求解亚格子模型系数. 使用ANNs求解真实螺旋度流和简化螺旋度流间的比例系数
${\eta _\Delta }$ , 表现出了优秀的性能. 另外, 大涡模拟在MHD湍流也得到了应用, 例如经典的Smagorinsky (SM) 模型(Theobald et al. 1994), Kolmogorov模型(Agullo et al. 2001, Müller & Carati 2002), 尺度自相似模型(Liu et al. 1994), 混合尺度模型(Chernyshov et al. 2007)等. Jadhav和Chandy (2021)研究了高雷诺数不可压缩湍流, 发现交叉螺旋度 (cross-helicity, CH) 模型相对于动态Smagorinsky(dynamic Smagorinsky, DS)模型在预测动能、磁场能量、螺旋度、交叉螺旋度等方面表现都要更好.通过多种算例的测试比较可以发现, 基于螺旋度建立的亚格子模型不仅仅可以在强手性破缺湍流得到较好的预测结果, 而且对于更一般的湍流预测中同样具有出色的表现.
4. 结 论
本文对螺旋度与湍流演化进行了综述, 详细介绍了螺旋度与流动结构的关系、在经典湍流以及各种复杂湍流的级串与统计中所扮演的角色, 并且简要说明了螺旋度在湍流理论与模拟模型中的应用. 总的来说, 关于均匀各向同性湍流的螺旋度相关理论已经较为完备, 当前主要研究方向有以下几方面. 1、拓扑流体力学方面: 目前对于低雷诺数下涡结构与螺旋度的演化机制已较为清晰, 但是高雷诺数下, 螺旋度在涡重联过程中不再守恒, 相关机制有待更深入挖掘. 2、湍流演化方面: 现阶段针对均匀各向同性湍流中的理论体系已较为完备, 当前研究重点应是将螺旋度向更为复杂流动进行拓展, 同可压缩效应、旋转效应、电磁效应、边界层效应等复杂效应一同考察. 事实上, 在复杂流动中, 螺旋度起到更为重要的作用, 例如, 在均匀各向同性湍流自由衰减时, 螺旋度仅抑制湍流早期衰减进程, 不会影响衰减律的发展; 但与旋转效应耦合后, 却会引入额外的级串限制与新的衰减律, 其机制在于三维效应与旋转引起的二维效应间的制衡. 3、工程应用方面: 相关研究表明螺旋度在预测流动结构、能量反向散射方面具有重要优势, 但目前基于螺旋度的湍流建模仍处于发展阶段, 相关模型的性能评估、改进以及进一步的应用有待在未来进一步开展.
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图 3 三种螺旋度之间的转换. (a)一对涡环之间的链接螺旋度在涡重联后转换为单个涡环的缠绕, 经过局部放大(Scheeler et al. 2014); (b) “三叶形结”的涡重联, 链接转化为缠绕(Alexakis & Biferale 2018, Yao et al. 2021); (c) Hopf link 的涡重联, 链接转化为缠绕(Kivotides & Leonard 2021); (d) 涡的追击过程中缠绕通过涡拉伸转换为扭转(Scheeler et al. 2017)
图 5 螺旋湍流中的 (a) 涡结构与 (b) 相对螺旋度分布(Kitamura 2021)
图 6 三波交互的四种分类(Waleffe 1992, Alexakis & Biferale 2018); 箭头代表了能量输运的方向, 线条粗细代表了能量通量的大小; 蓝色代表正向级串, 红色代表反向级串
图 8 螺旋度级串的双通道对能量级串的影响(Yan et al. 2020c). (a)
$ \varPi _\Delta ^{H1} $ , (b)$ \varPi _\Delta ^{H2} $ 
图 9 带有螺旋度的典型旋转湍流. (a) 螺旋旋转湍流(Hu et al. 2022), (b) 旋转壁湍流(Hu et al. 2024), (c) 旋转射流(Luginsland et al. 2016)
图 10 MHD 流动. (a) 日冕中的磁重联过程(Shibata & Magara 2011), (b) 霍尔 MHD 湍流中的电流密度(Ferrand 2021)
图 11 可压缩螺旋湍流中的速度散度(Yan et al. 2019)
图 12 可压缩螺旋湍流中动能与螺旋度的输运(Yan et al. 2020b)
图 14 边界层转捩中模型效果比较(Zhou et al. 2019b). DNS为直接数值模拟结果, CSM与DSM分别是常系数与动态Smagorinsky模型, CHM与DHM分别是常系数与动态螺旋度模型, WALE是壁面自适应局部涡粘模型
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