力学进展, 2021, 51(1): 106-129 DOI: 10.6052/1000-0992-20-014

研究综述

定常升阻力普适理论的特色和升力的物理来源

吴介之1, 刘罗勤,2,*, 刘天舒3

1 北京大学, 北京 100871

2 University of Twente, 7500 AE Enschede, The Netherlands

3 Western Michigan University, Kalamazoo, MI 49008, USA

The universal steady lift and drag theory and the physical origin of lift

WU Jiezhi1, LIU Luoqin,2,*, LIU Tianshu3

1 Peking University, Beijing 100871, China

2 University of Twente, 7500 AE Enschede, The Netherlands

3 Western Michigan University, Kalamazoo, MI 49008, USA

通讯作者: *E-mail:luoqin.liu@utwente.nl

收稿日期: 2020-06-5   接受日期: 2020-11-5   网络出版日期: 2021-03-25

Corresponding authors: *E-mail:luoqin.liu@utwente.nl

Received: 2020-06-5   Accepted: 2020-11-5   Online: 2021-03-25

作者简介 About authors

吴介之,1940年生,1966年在北京航空航天大学获硕士学位,曾任中国航空研究院工程师、副研究员(1986)、研究员(1987).1980——1982年为美国明尼苏达大学访问学者,1986年起迄今为美国田纳西大学空间研究院访问学者、研究教授.1999年起为北京大学湍流与复杂系统国家重点实验室教授、北京大学工学院特聘教授.主要从事涡动力学、空气动力学和复杂流动的基础理论与工程应用研究.著有《涡动力学引论》(1993),《VorticityandVortexDynamics》(2006,Springer)和《VorticalFlows》(2015,Springer)等专著.发表论文120余篇.曾获得1994年美国航空宇航协会(AIAA)田纳西分会Arnold将军奖、2000年AIAA应用空气动力学最佳论文奖等科研奖励.

摘要

现代空气动力学诞生一百多年来, 已经发展出众多关于升力和阻力的理论. 但是, 其远场合力理论一直停留在低速不可压流. 虽经几代人的努力, 但仍未能把它精确地推广到黏性可压缩流. 这种状况直到最近才得以突破. 本文作者及其合作者依据对远场线化Navier-Stokes方程解析解的研究, 获得了经典不可压二维定常流的Kutta-Joukowski升力定理的现代二、三维普适版这个核心结果, 从而突破了经典空气动力学基础理论延续了八九十年的一个缺口. 基于线性近似得到的简洁公式, 何以能在高度非线性的复杂流场中仍然精确成立, 这里涉及饶有兴趣的方法论问题, 很值得关注. 本文的第一个任务, 是在简要回顾普适理论基本成果的基础上, 反思其方法论特色和背后的物理机理. 尽管严格的量化升力理论已经得到航空实践的广泛检验, 但在各种出版物和媒体上仍常常出现关于升力物理来源的各种假说. 这种状况表明: 升力物理来源这个问题, 并没有在国内外众多的教科书、专著和课堂中得到彻底的澄清, 认真回答这个问题在现今仍然具有迫切的重要性. 普适理论的普遍有效性和高度简洁性使人们能用它以尽可能直接的方式为澄清升力来源提供逻辑严密的论据, 值得着重考察. 这是本文的第二个任务.

关键词: 理论空气动力学 ; 升力 ; 环量 ; Kutta条件 ; 黏性流动

Abstract

Since the birth of modern aerodynamics, various theories on lift and drag have been developed and validated extensively in aeronautical applications. However, the far-field force theory had long remained at low-speed incompressible flow. Based on the analytical solutions of the linearized Navier-Stokes equations in the steady far field, the authors and their collaborators extended the classic Kutta-Joukowski lift theorem to both two- and three-dimensional viscous and compressible flows, and thus filled the long-standing gap in theoretical aerodynamics. Why can the simple formulas based on linearized approximation still be accurately valid for highly nonlinear complex flows? This issue of great interest involves the methodological characteristics and physical mechanism behind the unified force theory and is the first task of this article. Moreover, there has been an abnormal phenomenon regarding the physical origin of lift that, despite the already mature and fully verified rigorous lift theory, various different hypotheses still keep surfacing frequently in various nonscientific publications and media. This indicates that the issue is really complicated and has not been thoroughly clarified in textbooks, monographs, and classrooms around the world. Now, the universality and high conciseness of the unified theory enable one to reach a clear answer to this issue by rigorous logical arguments in the most direct way. This is the second task of this article.

Keywords: theoretical aerodynamics ; lift ; circulation ; Kutta condition ; viscous flow

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本文引用格式

吴介之, 刘罗勤, 刘天舒. 定常升阻力普适理论的特色和升力的物理来源. 力学进展[J], 2021, 51(1): 106-129 DOI:10.6052/1000-0992-20-014

WU Jiezhi, LIU Luoqin, LIU Tianshu. The universal steady lift and drag theory and the physical origin of lift. Advances in Mechanics[J], 2021, 51(1): 106-129 DOI:10.6052/1000-0992-20-014

1 引言

现代空气动力学诞生一百多年来, 从无黏到有黏, 从定常到非定常, 从不可压到可压缩, 从近似到精确, 已经发展出众多关于升力和阻力的理论, 得到了多方面实践的充分检验, 参见笔者的详细述评(Wu et al. 2018). 它们对航空航天、流体机械、风工程等众多应用领域, 提供了不可或缺的基础保证. 一般说来, 除一些高度简化的近似理论外, 升阻力的精确表达式都具有积分形式. 用积分表示合力, 其积分域与边界总可以有多样化的选择, 例如物面上的应力积分或者流场物理量的体积分. 对于定常流则可简化为流场外边界的面积分. 相应地, 被积函数也是多样化的, 它们的优劣取决于具体问题的需要, 当然越简单越好, 越能抓住物理本质越好.

这些积分型的理论分为近场理论和远场理论两类. 近场理论的被积函数包含影响合力的全部复杂的近场非线性过程与结构, 用以对计算流体力学(CFD)和实验流体力学(EFD)取得的流场数据进行物理的诊断, 是当代气动力理论的主流和热点. 远场理论的特点则是从远场线性近似出发, 得到极为简洁却在近场精确有效的升阻力公式. 定常流的合力可以表示为远场边界积分, 为发展这种理论提供了必要条件(注: 不可压非定常流的合力也可用边界积分表示, 见Noca等 (1997)Wu 等 (2005)). 它始于Joukowski (1906)的著名升力定理$L=\rho U\Gamma _{\phi }$和Filon (1926)较少受到注意的阻力定理$D=\rho UQ_{\psi}$, 其中$\Gamma _{\phi}$和$Q_{\psi}$分别是环量和有旋尾流的入流, 详见下面的2.1节. 远场理论包括建立复杂流场在接近无穷远处的衰减规律以及精确的合力公式, 这是CFD和EFD够不着而只能依靠解析方法的领域. 它们为所有近场理论的公式提供了检测的标准, 也为在CFD中设置远场边界条件提供了判据. 然而, 环量和入流的取值不由远场理论本身决定, 而要结合近场理论根据具体流动状态给出. 可以说, 远场理论提供了战略目标, 而近场理论做战术实施.

长期以来, 远场合力理论一直停留在低速不可压流. 虽经几代人的努力, 但仍未能把它精确地推广到黏性可压缩流. 这种状况直到2014——2018年才得以突破. 本文第二作者在其博士论文(以下简称博文)中提出了黏性可压缩定常流的普适升阻力理论(以下简称普适理论, 刘罗勤2016), 突破了经典空气动力学基础理论延续了八九十年的一个缺口, 其内容发表在3篇期刊论文上(Liu et al. 2015, 2017a, 2017b). 博文依据对远场线化Navier-Stokes方程(NS方程)解析解的研究, 获得了经典不可压二维定常流的Kutta-Joukowski升力定理(KJ定理)的现代二、三维普适版这个核心结果, 并给出了数值检验. 基于线性近似的NS方程(Oseen方程)得到的简洁公式, 何以能在高度非线性的复杂流场中仍然精确成立, 这里涉及饶有兴趣的方法论问题, 很值得关注. 本文的第一个任务, 是在简要回顾普适理论基本成果的基础上,反思其方法论特色和背后的物理机理.

众所周知, 飞机上天与火箭上天的物理机制有根本的区别. 后者用牛顿第二、三定律就可以直观地解释; 前者则很不直观: 水平飞行的机翼何以竟然能产生垂直于飞行方向(因而本身不做功)的巨大升力? 这里涉及的物理过程比火箭上天复杂得多. 尽管严格的量化升力理论已经得到航空实践的广泛检验, 但100年来在各种出版物和媒体上仍常常出现关于升力物理来源的各种假说, 还在最近登上了享誉世界的科普刊物《科学美国人》(Regis 2020), 作者宣称科学家迄今对飞机为何上天的问题"仍然没有答案". 这种状况再次提醒人们: 升力物理来源这个问题, 并没有在国内外众多的教科书、专著和课堂中得到彻底的澄清, 认真回答这个问题在今天仍然具有迫切的重要性. 普适理论的普遍有效性和高度简洁性使人们能用它以尽可能直接的方式为澄清升力来源提供逻辑严密的论据, 值得着重考察. 这是本文的第二个任务. 为简便起见, 本文的讨论限于常温下的宏观流体.

2 从线化远场到精确近场: 不可压升阻力的经典理论

2.1 环量与入流

普适理论有两个基本物理量: 决定升力的环量和决定阻力的入流. 令满足NS方程的任意黏性可压缩定常流(可以是时均定常湍流)的速度及其在直角坐标系$(x, y,z)$中的分量为$\pmb u =\left( u,v,w \right)$, 有恒定速度$\pmb U = U\pmb e _{x}$ (其中$U$为速度大小, $\pmb e _{x}$为速度方向, 即指向$x$正半轴的单位矢量)和密度$\rho _{0}$的直匀来流, 物体引起的扰动速度为$\pmb u'=\pmb u-\pmb U=\left( u',v,w \right)$. 令$S$为一个包围任意静止固体$B$的任意闭曲面, 外法向为$\pmb n $, 其包含的流体体积记为$V_{\rm f}$, 它属于定常子空间$V_{\rm st}$ (参见第3.1节). 由此, 定义矢量形式的环量和标量形式的入流, 它们分别表征$\pmb u '$的切向分量和法向分量沿$S$的积分

$\Gamma \equiv \int_S \pmb n \times \pmb u '{\rm d}S =\int_{V_{\rm f}} \pmb \omega {\rm d} V , \qquad Q\equiv -\int_S \pmb n \cdot \pmb u '{\rm d}S =-\int_{V_{\rm f}} \vartheta {\rm d}V $

其中$\pmb \omega = \nabla \times \pmb u' $和$\vartheta = \nabla \cdot \pmb u' $是涡量和胀量, 因此$ \Gamma $和$-Q$分别是$V_{\rm f}$中的总涡量和总胀量. 式(1)涉及的物理量都是可观测和计算的. 但是, 升阻力和$ \Gamma $与$Q$之间的关系并不那么直接. 更确切些, 需要对$ \pmb u' $做纵横分解或Helmholtz分解

$\pmb u '= \nabla \phi +\nabla \times \pmb \psi =\pmb u _{\phi }+\pmb u _{\psi },\qquad \nabla \cdot \pmb \psi =0 $

其中$\phi $和$ \pmb \psi $是标量速度势和矢量流函数, 二者合称纵横势或Helmholtz势. 据此, 博文对环量与入流做纵横分解, 即令$ \Gamma= \Gamma _{\phi }+ \Gamma _{\psi}$和$Q= Q_{\phi }+Q_{\psi}$, 其中

$\Gamma _{\phi } \equiv \int_S {\pmb n \times \pmb u _{\phi }{\rm d}S} , \qquad \Gamma _{\psi} \equiv \int_S {\pmb n \times \pmb u _{\psi }{\rm d}S} $
$Q_{\phi } \equiv - \int_S {\pmb n \cdot \pmb u _{\phi }{\rm d}S} ,\qquad Q_{\psi } \equiv - \int_S {\pmb n \cdot \pmb u _{\psi }{\rm d}S} $

这里, $\phi $和$ \pmb \psi $只是人为引进的辅助函数, 不是能够测量或计算的物理量, 所以$\pmb u _{\phi}$和$\pmb u _{\psi}$中任意一个也不能直接测量或计算, 环量和入流分解后的每个组份也是如此. 事实上, 从已经得到的涡量场和胀量场数据可以通过求解Poisson方程解出连续变化的$\phi $和$ \pmb \psi $, 但迄今不知道如何算出下文 式(6)和式(9)中出现的Helmholtz势的突跃. 但是, 由$\pmb u _{\phi }$的无旋性和$\pmb u _{\psi}$的无散性容易证明, $ \Gamma _{\phi }$和$Q_{\psi}$的值一定独立于包围物体的闭曲面$S$的大小和形状. 这使它们能在线化远场解析地求得, 而又能直接用于非线性近场, 从而结果具有普遍性. 相反, 积分$ \Gamma _{\psi}$和$Q_{\phi }$不具有这种独立性. 这个微妙的区别是理解远场理论中升阻力公式普适性的关键.

2.2 KJ升力定理和Taylor条件

对于任一个包围物体的闭曲面$S$, 无黏不可压定常合力可表示为

$\pmb F=- \int_S {\left( p\pmb n +\rho_{0}\pmb {uu} \cdot \pmb n \right){\rm d}S} =\rho_{0}\int_S {\left( \dfrac{1}{2}\left| \pmb u \right|^{2}-\pmb {uu} \cdot \pmb n \right){\rm d}S} $

其中第二式据Bernoulli定理用动能取代了压力, 其被积函数是速度的二次齐式. 现在考虑发生在$(x, z)$平面上的二维流, $S$退化为一条切向为$\pmb t $、法向为$\pmb n $的闭曲线$C$, 矢量弧元为$\pmb t {\rm d}s$, $\pmb n $, $\pmb t $和$y$方向基矢量$\pmb e _{y}$构成右手正交单位标架, $ \pmb \psi =(0,\psi ,0)$, $ \Gamma =\Gamma \pmb e _{y}$. Joukowski (1906)在远场取了一个大回路$C$, 使得式(5)的速度二次齐式可以只保留到$\pmb u '$的线性项, 然后发现: 翼型的升力正比于给定参数$U$和$\rho _{0}$, 以及绕$C$的环量$\Gamma $(本文援引的Joukowski这个远场证明方法, 取自Batchelor (1967)中用现代语言改写的介绍). 在他发表这个定理时, Prandtl (1904)的边界层理论只出现两年, 尚未引起外界注意. Joukowski 唯一能用的流动模型是无黏势流理论, 所论环量实为$\Gamma _{\phi}$

$L=\rho_{0}U\Gamma _{\phi }, \qquad \Gamma _{\phi }=\oint_C {\pmb u _{\phi }\cdot \pmb t {\rm d}s} =[[ \phi ]] $

其中$[[ \cdot ]]$表示有关量绕$C$一周的突跃. 由于前述$\Gamma _{\phi }$对$C$选取的独立性, 该回路可以完全缩小到在离物体近得多的非线性流动中, 预测的升力不变, 因而式(6)具有普遍意义. $\Gamma _{\phi}$的取值或突跃$[[ \phi ]]$不是定理本身要回答的, 需在尖后缘施加Kutta 条件(参见第4.4节)以保证流动没有奇异性来决定.

在从式(6)发展出薄翼型理论并对小攻角大雷诺数翼型绕流得到实验检验之后, 人们开始考虑它能否用于真实的黏性有旋流, 即是否能把原始Joukowski公式(6)改为

$L=\rho_{0}U\Gamma $

这里, 可测的物理环量$\Gamma$需要包含$\Gamma _{\psi}$的贡献, 虽然它仅来自$C$切割翼型尾流的地方, 其大小必然依赖于$C$的具体选取, 这就引起对式(7)的普适性的疑问. 英国学者Bryant和Williams在1926年做了实验研究, 发现在黏流中测得的$\Gamma $仍然独立于$C$的选取. 对此, Taylor (1926)指出: 由于尾涡层很薄, 可以用边界层近似在翼型后缘下游不远处的一个垂直于来流的尾流截线$W$上证明涡量流的积分为零, 称之为Taylor判据. 这个条件保证了在黏流中仍有$\Gamma _{\psi}=0$, 因而式(7)也具有普遍性. 事实上, Taylor也用这个判据表述Kutta条件. 现在, 对它的导出和表述可以扩展为(详见Wu et al. 2015, pp. 290-293)

$\int_W {u\omega {\rm d}z} =0, \qquad \int_W {w\omega {\rm d}z} =0, \qquad \int_W {\omega {\rm d}z} =0 $

其中第三式表示涡量的尾流截面积分为零, 后面将看到在远场对二、三维流都成立.

2.3 Filon阻力定理

同年但独立于Taylor的理论研究, Filon (1926)对二维不可压黏性有旋流得到了远场Oseen线化方程的级数解, 对升阻力做了彻底的研究. 一方面, 他证明式(7)在远场的确渐近成立, 和Taylor的分析一致; 另一方面, 他证明阻力仅取决于$Q_{\psi}$

$D=\rho_{0}UQ_{\psi }, \qquad Q_{\psi }=- \oint_C {\pmb u _{\psi }\cdot \pmb n {\rm d}s} =-[[ \psi ]] $

它反映阻力来自黏性尾流中的动量亏损, 即从上游进入$C$的动量流多于从下游流出$C$的动量流; 而势流对入流没有贡献(D'Alembert佯谬). 因为$Q_{\psi }$的值也独立于$C$的形状和大小, 式(9)预测的阻力也具有普适意义. 式(9)和式(6)在形式上完美对称, 构成了二维升阻力的一对极为简洁的基本公式. 但是, $Q_{\psi }$也不是可观察量, 这很可能是Filon公式(9)长期没有得到工程技术界重视的原因. 与此对比, KJ公式(6)幸运得多, 它在Taylor 判据(8)成立的范围内达到了可测公式(7).

2.4 三维不可压黏流和可压缩流

上面的发展限于二维不可压流. 20世纪30年代, 英国著名理论家Goldstein (1929, 1931)沿着Filon的理论路线, 率先研究了远场三维不可压Oseen方程的两族级数解, 证明Filon阻力公式(9)对三维流同样有效. 但在升力的研究中没有做到底. 最终的结果是刘罗勤(2016)得到的.

随着高速空气动力学的兴起, 人们自然对如何把从Joukowski开始的这个"从线性远场到精确近场" 的理论派别推广到可压缩流极感兴趣, 几代著名理论家都曾投入了这个方向的研究, 从理论和数值模拟中初步观察到KJ升力定理在高亚声速下仍然有效, 其中Finn和Gilbarg (1957, 1958)把不可压二维势流理论严格推广到非线性亚声速流, 证明式(6)对二维流仍然成立, 而三维时合力等于零. 这些进展详见刘罗勤 (2016)的述评, 但都没有达到人们期望的普适性目标.

3 黏性可压缩定常流的普适升阻力理论

3.1 外无界远场的分区结构

在进入普适理论之前, 博文首先用非定常线性远场方法, 建立了一个关于外无界流场分区结构的引理(刘罗勤 2016):

引理. 令$V_{\infty}$是包含运动物体的外无界空间, 在无穷远处流体具有均匀性质, 静止或做匀速运动. 则只有黏性、非定常、可压缩流能够以声波的形式指数衰减到无穷远静止或均匀运动状态. 由此可统一地证明三个命题:

(1) 定常流区$V_{\rm st}$必由非定常流包围;

(2) 不可压流区$V_{\rm inc}$必由可压缩流包围;

(3) 无黏流区$V_{\rm inv}$必由黏流包围.

因此, 这些$V_{\infty}$的子区域都是人为的理论模型, 尽管在其内部也可以使用"无穷远"的概念. 下面介绍的普适理论是定常子域中的精确理论. 上述命题1比较熟知, 吴镇远(Wu 1981)曾大力强调; 命题2首先由Landau和Lifshitz (1959)阐明, 并由Saffman (1992)具体证明; 命题3是博文首次证明的(刘罗勤 2016).

3.2 升阻力的远场运动学表示与Stokes定理

遵照Joukowski-Filon等人"从线化远场到精确近场"的路线, 首先需像式(5)那样, 把黏性可压缩合力公式用线化远场的边界积分表示, 取线性近似, 并只用运动学量表示以保持普适性. 具体地, 令$\mu $和$\mu_{\theta}$为分子的或湍流的剪切黏性系数和纵向黏性系数, 它们和密度在远场均取常值, 则定常线化NS方程为

$\rho_{0}\pmb U \cdot \nabla \pmb u '=- \nabla \left( p-\mu_{\theta }\vartheta \right)-\mu \nabla \times \pmb \omega $

它可按式(2)做纵横分解, 其纵向部分可积分一次

据此, 可把合力的远场线化表达式写成

$\pmb F =\rho_{0}\pmb U \times \int_S {\pmb n \times \nabla \phi {\rm d}S} -\rho_{0}\pmb U \cdot \int_S {\pmb n \pmb u _{\psi }{\rm d}S} +\mu \int_S {\pmb \omega \times \pmb n {\rm d}S} $

其中$\mu \pmb \omega \times \pmb n=\pmb \tau $仍是动力学量, 但可借助式(11)证明

$\mu \pmb \omega =\rho_{0}\pmb U \times \pmb u _{\psi }-\rho_{0} \nabla \left( \pmb U\cdot \pmb \psi \right) $

从而得

显然, 二维流的Joukowski公式(6)和Filon公式(9)已被推广到可压缩流. 式(14)的第三项只出现在三维流, 暗示流向涡量$\omega _{x}=- \nabla ^{2}\psi _{x}$对合力也有贡献. 但为得到这项的具体形式, 必须求得$ \pmb \psi $的线化远场解, 见后. 这里, 先考察式(14)的结构. 显然, 三项积分都具有$\left( \pmb n \times \nabla \right) \circ {\cal F}$的形式, 其中${\cal F}$为任意张量场, $ \circ $为任何可实施的张量或算符乘积. 于是立即想到广义Stokes定理: 对任意边界为$\partial S$的曲面$S$, 若${\cal F}$连续、分段可微, 则有

$\int_S \left( \pmb n \times \nabla \right) \circ {\cal F}{\rm d}S =\oint_{\partial S} {\rm d}\pmb x\circ {\cal F} $

而对闭曲面, 式(15)右边为零. 因此, 由式(2)、式(3)和式(14)可见, 如果$\phi $和$ \pmb \psi $满足广义Stokes定理的条件, 就会回到零合力的佯谬(包括D'Alembert的零阻力佯谬). 具体地说, 式(14)包含了一个重要判断(奇怪的是, Stokes定理的这个作用, 似乎此前没有被提到过):

纵横势非正则性定理. 黏性可压缩定常流升阻力完全来自$\phi$和$\pmb \psi $在二维时的多值性(流域双连通)和三维时的奇异性.

二维流$\phi $和$ \pmb \psi $的多值性是熟知的, 已在式(6)和式(9)显示出来. 三维流域是单连通的, 升阻力只能来自$\phi $和$ \pmb \psi $的奇异性. 这个思想来自Goldstein (1931). 注意, 这种多值性和奇异性只能出现在纵横势中, 速度场和其他可测物理量必须是单值的和非奇异的. 由于这个结果, $\phi $和$ \pmb \psi $中的正则部分在计算升阻力时可以略去, 而它们的奇异部分在计算速度时必须相互抵消.

应当看到: 对于流域双连通的二维流, 物体引起的扰动Helmholtz势未必总是多值的. 如果所考虑的流域是$V_{\infty}$, 它包含了所有扰动, 例如尾流中的全部涡量场, 那么多值性并不出现. 但这时$V_{\infty }$中不断下行的启动涡使得流场必然是非定常的. 作为$V_{\infty }$子域的定常流域$V_{\rm st}$总要把启动涡排除在外, 仅在这时纵横势才可能是多值的.

同理, 对于流域单连通的三维流, 在定常流域$V_{\rm st}$的下游任意远的尾流截面$W$上, 必然仍有尾涡穿过, $V_{\rm st}$不可能完全囊括所有扰动场. 这是$\phi $和$ \pmb \psi $具有奇异性的原因所在. 下面的远场解证实了这种奇异性, 它们在计算速度场时的确相消. 不过, $\phi $和$ \pmb \psi $的三维奇异性是否像其二维多值性那样在非线性近场也存在, 却是个尚未检验也难以检验的问题.

3.3 纵横远场的基本解方法

为了完成可压缩升阻力的三维推广, 同时对可压缩远场的纵横过程获得量化理解, 需要解析地求得定常可压缩Oseen方程解. Filon和Goldstein的方法是寻找Oseen方程的完备级数解, 复杂冗长. 但注意到在远场观察者看来, 任何有限物体都可视为点状结构, 刘罗勤(2016)转而采用了简洁得多的基本解方法. 这种方法是加州理工学院Lagerstrom 等 (1949)在一份给海军的研究报告中提出的, 其中包括线化NS方程纵横分解的系统论述. 可惜他们把线化NS方程基本解用于简化边界层理论的尝试并未成功, 是用错了地方.

线化纵横远场基本解方法的要点可以概括如下. 首先,物体给流场施加一个外力, 它在线化远场表现为位于原点的点状力

$\pmb f =-\dfrac{\pmb F }{\rho_{0}}\delta (\pmb x ) $

这里$\pmb F $是物体受到的合力, $\delta (\pmb x )$是Dirac Delta函数. 这个外力的存在说明, $\phi $和$ \pmb \psi $描绘的纵场和横场不像无内外边界的线性场那样互相独立, 而是互相耦合

$\phi =-\dfrac{1}{\rho_{0}}\pmb F \cdot \nabla G_{\phi }, \qquad \pmb \psi =-\dfrac{1}{\rho_{0}}\pmb F \times \nabla G_{\psi } $

其中$G_{\phi}$和$G_{\psi}$是纵横场的基本解, 可用经典的积分变换和特殊函数方法做解析研究, 在二维和三维流中有不同的形式.

3.3.1 横场

外力$\pmb F $产生的横场, 在远场$\pmb f =\mathbf{0}$满足Oseen方程的旋度部分

$\left( \nabla ^{2}-2k\partial_{x} \right)\pmb \omega =\mathbf{0}, \qquad k=\dfrac{\rho_{0}U}{2\mu } $

与马赫数无关. 可发现速度的横分量仍可分解出一个无旋部分

$\pmb u _{\psi }=\dfrac{1}{\rho_{0}} \nabla \left( \pmb F \cdot \nabla G_{\psi } \right)+\pmb v , \qquad \pmb v =-\dfrac{1}{4\pi \mu }\chi \pmb F , \qquad \chi \equiv 4\pi U\partial_{x}G_{\psi } $

其中$\chi $正是Lamb (1932)引入的涡量势(Lamb的结果仅限于定常二维或轴对称流), 即涡量总可写成

$\pmb \omega = \nabla \times \pmb v =\dfrac{1}{4\pi \mu }\pmb F \times \nabla \chi $

而$\chi $的尾流积分$\int_W {\chi {\rm d}S} $总等于$2\pi /k$, 由此可证, 本来针对近场薄尾流建立的Taylor判据(8)的第三式, 在线性远场也成立. 图1例示了$\chi $的云图. 对三维流, 发现$G_\psi$ 沿$x$正半轴有奇异性

$G_{\psi }=\dfrac{1}{4\pi U}\Gamma \left[ 0, k\left( r-x \right) \right], \qquad r=\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}} $

其中$ \Gamma (\cdot , \cdot ) $是上不完备Gamma函数. 因此$ \pmb \psi $也有奇异性. 还可得到一个简单的合力公式

$\pmb F =-\rho_{0}\pmb U \int_W {\pmb v {\rm d}S} $

式(22)是Goldstein (1931)对不可压缩流的一个中间结果. 博文指出, Goldstein未能做到底的原因之一是没能把纵横分解贯彻到底.

图1

图1   涡量势$\chi$ $(k =10) $的云图, 原点为奇异点, 其附近取值远大于1 (中心空白处). (a)二维, (b)三维对称平面


3.3.2 纵场

黏性纵场的基本解既依赖于雷诺数, 又依赖于马赫数$M=U/a$, $a$为远场恒定声速. 因此, 不仅要分别考虑二、三维的解, 而且要针对亚声速、超声速和近声速这三个速度范围分别研究. 大体上说, 亚声速远场的行为和不可压一致, 只差一个变换$\beta =\sqrt {1-M^{2}} $, 而且主导效应是无黏的; 超声速远场则靠变换$B=\sqrt {M^{2}-1} $和$M=\sqrt 2 $的流动联系. 重要的是, 经典气体动力学和高速空气动力学一直是不考虑黏性的(黏性效应只在附着流边界层中出现). Cole和Cook (1986)在其跨声速空气动力学的专著中把无黏远场做到二阶扰动, 仍不能发现其正确的渐近行为. 而博文首次证明, 跨超声速的远场必须是黏性的, 否则无法向无穷远的均匀流光滑过渡. 尤其是, 线性近声速远场仅存在于黏流中. 黏性效应表现为参数

$\Lambda =\dfrac{\delta M^{4}}{2BU}\ll 1, \qquad \delta =\dfrac{\mu _{\theta }}{\rho_{0}}+\left( \Gamma -1 \right)\dfrac{\kappa }{\rho _{0}c_{p}} $

这里$\delta $称为声扩散系数, $\kappa $和$c_{p}$分别是热扩散系数和定压比热. 例如, 对二维流, 速度势$\phi $可分解成对升力$L$和阻力$D$有贡献的两部分

$\phi =\dfrac{L\phi_{\rm l}+D\phi_{\rm d}}{2\pi \rho_{0}U} $

其中对超声速流有

$\phi_{\rm l}=\dfrac{\pi }{2}{\rm sgn}\left( z \right){\rm erf}\left( \dfrac{x-B\left| z \right|}{2\sqrt {\Lambda \left| z \right|} } \right), \qquad \phi_{\rm d}=-\dfrac{\pi }{2B}{\rm erf}\left( \dfrac{x-B\left| z \right|}{2\sqrt {\Lambda \left| z \right|} } \right) $

由于$ \Lambda \ll 1 $, $\phi $主要在马赫波$x-B\left| z \right|\approx 0$附近沿法向有显著变化(图2). 特别地, 阻力势$\phi _{\rm d}$除原点外处处连续, 但升力势$\phi _{\rm l}$在跨越$x$轴时有间断(注: 虽然升力势本身在跨越$x$轴时有间断, 升力势诱导的速度在$x$轴附近却是连续的, 且以指数衰减速率趋于零). 对亚声速流有

$\phi_{\rm l}={\rm sgn}\left( z \right){\rm atan}\left( \dfrac{x}{\beta \vert z\vert } \right), \qquad \phi_{\rm d}=\dfrac{1}{2\beta }\ln {(x^{2}+\beta ^{2}z^{2})} $

由于黏性不显含于式(26)中, 亚声速远场的主导效应为无黏流动, 扰动分布于整个空间(图3).

图2

图2   超声速速度势$2\phi /\pi$ $(\Lambda =0.01$, $B=1)$的云图. (a)升力势$2\phi_{\rm l}/\pi $, (b)阻力势$2\phi_{\rm d}/\pi $


图3

图3   亚声速速度势$2\phi /\pi$ $(\beta =1)$的云图. (a)升力势$2\phi_{\rm l}/\pi $, (b)阻力势$2\phi_{\rm d}/\pi $


3.4 统一合力定理与可测合力公式

有了纵横势和速度场在远场的解析表达式, 就可得到博文的核心结果:

外无界定常流的统一合力定理. 绕任意物体的$n$维黏性可压缩定常流作用在物体上的合力是

$\pmb F =\left( n-1 \right)\rho_{0}\pmb U \times \Gamma _{\phi }+\rho_{0}\pmb U Q_{\psi }, \qquad n=2, 3 $

显然, 第一项是垂直于来流的力即广义的升力, 第二项是沿来流的力即阻力. 对二维流, 式(27)和不可压流的经典公式(6)和式(9)以及式(14)完全相同. 对三维流, 由于涡量分布与二维分布有根本区别, 其升力的表达式恰好是二维流的两倍(并非升力的预测值大了一倍). 这些公式与雷诺数和马赫数无关, "Nature would never care these numbers if it could recognize scalar and vector potentials" (Liu 2019). 为纪念百年前的先驱, 这个定理也可称为广义Kutta-Joukowski-Filon定理, 简称广义KJF定理(Wu et al. 2018).

为证明式(27), 用式(17)和式(19)可得

$\pmb u '=-\dfrac{1}{\rho_{0}}\pmb F \cdot \nabla \nabla \left( G_{\phi }-G_{\psi } \right)+\pmb v$

因为$\pmb u '$和$\pmb v $是正则的, $\pmb F \cdot {\nabla \nabla }\left( G_{\phi }-G_{\psi } \right)$这个势也是正则的. 这可以在计算$ \Gamma _{\phi}$时把它从式(17)第一式中扣除, 剩下有效的$\phi '=-\pmb F \cdot \nabla G_{\psi}$. 另一方面, 计算$Q$时用到的则是$\pmb F \times \nabla G_{\psi}$. 所以, 只用一个$G_{\psi}$的解析表达式(21)就足够了. 结果得到

$\begin{array}{l} \Gamma _{\phi }=-\dfrac{1}{\rho_{0}}\int_S {\left( \pmb n \times \nabla \right)\left( \pmb F \cdot \nabla G_{\psi } \right){\rm d}S} =\dfrac{\pmb F \times \pmb e _{x}}{2\rho_{0}U} \\\\ Q_{\psi }=\dfrac{1}{\rho_{0}}\int_S {\left( \pmb n \times \nabla \right)\cdot \left( \pmb F \times \nabla G_{\psi } \right){\rm d}S} =\dfrac{\pmb F \cdot \pmb e _{x}}{\rho _{0}U} \end{array} $

从而定理得证.

有趣的是, 这个证明仅从式(16)出发计算$ \Gamma _{\phi}$和$Q_{\psi}$, 不依赖于前面从合力的边界积分表示导出的式(14). 但比较式(29)和式(14)表明, 那里的纯三维项刚好贡献了升力的一半

$\rho_{0}\int_S {\pmb n \times \nabla (\pmb U \cdot \pmb \psi ){\rm d}S} =\rho_{0}\pmb U \times \Gamma _{\phi }$

为何如此, 尚无解释.

遗憾的是, 式(27)虽然理论上精确普适, 但$\pmb u _{\phi}$和$\pmb u _{\psi}$都不可测量, 无法在实验和计算中直接检验. 不过, 定理一旦确立, 这两个分速度的特定积分$ \Gamma _{\phi}$和$Q_{\psi }$就立即变成"广义可测"的了: 对在黏性可压缩流中产生定常(或时均定常) 流的任何物体, 只要测出或算出它所受的升力和阻力, 分别除以$\left( n-1 \right)\rho_{0}U$和$\rho_{0}U$, 就得到$ \Gamma _{\phi }$和$Q_{\psi}$了!

当然, 最好是找到在什么条件下, $ \Gamma _{\phi}$和$Q_{\psi }$可以用直接可测量的积分代替. 博文找到了这个条件, 那就是式(27)的远下游渐近形式: 取属于$V_{\rm st}$的域$V$, 其上游边界和侧边界退到足够远, 其下游边界是一个垂直于来流的远尾流截面$W$. 则$ \Gamma _{\psi}$趋于零且$Q_{\psi }$经过分部积分可化为涡量矩在$W$上的积分$Q_{W}$

$Q_{W}=\dfrac{1}{n-1}\int_W {(z\omega_{y}-y\omega _{z}){\rm d}S} $

它在近场表现为尾流截面上的总焓损失. 因此

$\pmb F=\mathop{\rm lim}\limits_{x_W\to \infty}\left( \rho_{0}\pmb U \times \Gamma +\rho _{0}\pmb U Q_{W} \right) $

其中$\Gamma $由式(1)定义. 仅对三维流, 也可把$ \Gamma $写为

$\Gamma= \int_W {\pmb x \omega _{x}{\rm d}S} $

为方便用实际测量或计算检验这些可测公式, 博文基于阻力公式, 对达到线性远场的最小距离给出了量级估计, 发现最难达到的远场是二维近声速的横侧方向. 所以, 超声速飞机在一万米高空产生的音爆仍能传到地面; 翼展的一千倍距离还没到达线性远场!

另一方面, 尽管可压缩流尤其是超声速流有复杂的激波、熵增等来自纵场的过程与结构, 反映这些过程的特征量如胀量、温度、熵等在合力公式中都退到幕后成为隐变量. 这是因为, 纵过程都能转化为相应的涡量场, 它们在下游远场衰减的比较快, 把自身的存在转化成涡量分布的特殊印记(例如, 弯曲激波后面产生的涡量场比边界层尾流涡量宽广得多, 但微弱得多). 从而仅留下衰减得最远的涡量的线性函数.

图4是RAE-2822翼型升阻力的计算结果和理论预测的比较, 计算参数是$Re=6.5\times {10}^{6}$, $ \alpha = 5.0^{\circ}$, 详见文献Liu等 (2015). 实线是翼型表面应力积分算得的值, 把它当做理论标准, 也就是式(27)用$\Gamma _{\phi}$和$Q$预测的值. 点状符号是不同尾流截面位置$x_{W}$上用式(32)算得的升阻力. 在得到式(27)之前, 曾经以为两者的差是环量理论固有的误差, 其实那正是$\Gamma _{\psi}$的贡献. 对于升力, 可看出, 在给定的$x_{W}$下, Taylor判据能满足到近声速, 一旦出现跨声速激波后的涡量场, $\Gamma _{\psi}$就有了比较明显的效应. 到超声速区, 由于尾流在斜激波压制下难以扩宽, $\Gamma _{\psi }$的效应随马赫数增加保持为一个小而有限的值, Taylor判据近似成立. 但随$x_{W}$增大, $\Gamma _{\psi}$在整个速度范围都很快减弱, 证实了式(32)的预测.

图4

图4   超临界翼型RAE-2822升阻力系数随来流马赫数变化的曲线. 计算参数$Re=6.5\times {10}^{6}$, $ \alpha = {5.0}^{\circ}$. 实线: 标准壁面积分公式或理论预测公式(27)的结果. 符号: 渐近公式(32)在尾流截面位于$x_{W}$的结果. (a)升力系数, (b)阻力系数 (Liu et al. 2015)


对于阻力, 按式(32)算得的和式(27)预测的在亚声速与超声速区一致, 前者是因为涡量主要来源于边界层, 后者则是由于斜激波的压制导致涡量都集中于有限区域. 但是在跨声速区两者差别相当大, 即使当$x_{W}$取到400个弦长时$Q_{W}$也没有收敛到$Q_{\psi}$, 这是因为跨声速区的正激波产生的涡量会导致很宽的尾迹. 基于线性远场的最小距离估计, 此时线性远场的横侧距离达到$O({10}^{8})$, 远远大于计算域的尺度.

3.5 方法论特色小结

至此, 可以对远场理论的方法论特色做几点反思.

3.5.1 理论的线性结构

在所有合力理论中, 只有远场理论得到的升阻力线性地依赖于扰动流场, 既精确又简洁(注: Burgers (1920)年开创的非定常合力的冲量理论, 或许能在简洁、精确和一般性上与式(27)媲美. 这两种理论的应用范围刚好互补. 在冲量理论中, 合力也具有对涡量矩的线性依赖性, 但积分号外还有时间导数算子, 而且推广到可压缩流有些局限性, 参见Kang等 (2018)). 显然, 导致这个突出特色的关键是从远场线性近似出发. 为说明这点, 对同样条件下的近场合力公式和远场公式做个比较. 从无黏不可压公式(5)出发, 经过一个恒等式即得Prandtl涡力公式

$\pmb F = \rho _{0}\int_V {\pmb u \times \pmb \omega {\rm d}V} $

此式的被积函数$\pmb u \times \pmb \omega $即Lamb 矢量(这里忽略负号)代表一个非线性气动力, 它需要速度$\pmb u $和涡量$\pmb \omega $共存, 而力的方向总和二者垂直, 所以不做功. 在局部意义下, 这种力正是升力的特点. 现在可见, 若式(34)中速度的中值是来流速度$\pmb U $, 它就立即简化成线性公式(7). 对此, von Kármán和Burgers (1935)已给出了证明, 但他们的方法只适用于二维流. 线性表达式不是总能靠中值定理获得的. 式(27)和式(32)中的三维升力公式是个崭新的发现.

类似地, 黏性的引入导致一个型阻, 可以表示成总压扰动的尾流截面积分

$D= \int_W {\left( P_{0}-P \right){\rm d}S} , \qquad P=p+\dfrac{1}{2}\rho_{0}{\vert \pmb u \vert }^{2} $

其被积函数也是非线性的. 对于三维流, 式(34)还有个非线性阻力分量即诱导阻力, 它和型阻的和是总阻力. 而这个总阻力在式(27)中却线性地依赖于$Q_{\psi}$. 现已确证, 诱导阻力在远场趋于零, 型阻就成为总阻力(Zou et al. 2019); 这在远场理论中表现为$Q_{W}$趋于$Q_{\psi}$.

3.5.2 理论的普适性及其物理根源

可以看到, 为使远场理论具有普遍性, 首先要把合力公式里的变量全用运动学变量表示. 事实上, 式(14)正是式(5)对黏性可压缩流的推广, 其中正应力和切应力都不见了. 但到速度这个层次还不够, 还要通过纵横分解下沉到变量的最底层, 即纵横势. 纵横分解是个线性运算, 当然在远场理论中能发挥到极致. 结果, 由Stokes定理进而发现, 升阻力只涉及纵横势特有的多值或奇异部分, 它们和积分域的选取无关. 进一步的追究表明, 这种多值性和奇异性是定常流域$V_{\rm st}$必然切割尾流所带来的特有性质, 而尾流向下游延伸到远场时仅表现为涡量场. 这些相当深刻的发现表明, 彻底的纵横分解很有助于揭示问题的物理本质.

在普适理论中, 复杂流场有各种非线性过程与结构, 例如密度变化、温度梯度与熵梯度、流动分离、旋涡、激波, 乃至黏性系数对温度的非线性依赖性, 它们对合力是不是都有影响?若有, 这些影响如何都能一股脑儿归结为它们对$ \Gamma _{\phi}$和$Q_{\psi }$这两个运动学量的效应, 而且独立于雷诺数和马赫数? 这是个很深刻的问题, 其答案从式(29)中可以看出端倪. 那里, 只有一个横场基本解$G_{\psi}$最终参与了合力的计算, 在不同马赫数下有复杂表现的纵场基本解$G_{\phi}$并不出现, 因为单靠前者即足以表达纵横势多值性和奇异性对合力的净贡献. 但$G_{\phi}$不出现背后的物理根源, 乃是纵横场在流场内部和边界上的内禀耦合造成的. 例如, 众所周知, 无黏超声速流中的升力和波阻可以用激波和膨胀波计算出来; 但不仅弯曲激波会产生分布涡量而在远场留下足迹, 由于在黏流中激波的根部伴随很强的逆压梯度, 它通过黏附条件也可以导致很强的局部边界涡量流(BVF), 因而人们也可以用物面BVF分布算出同样的升阻力(Wu et al. 2018).

因此, 在近场理论中只能通过案例具体分析的事情, 在远场理论中变得简单明了: 复杂的可压缩纵场对升阻力只有间接的影响, 从而升阻力的公式与不可压经典公式具有完全相同的形式, 而不是和某个超声速马赫数如$M=\sqrt 2 $下的公式相同. 换言之, 升阻力的物理根源业已完全根植于不可压黏流之中. 这个发现为Batchelor (1967)的一个观点提供了新的证据, 他认为不可压黏性流体处于流体动力学的中心, 因为大多数基本概念在研究有内摩擦的流体的有旋流动时都能清晰地揭示出来.

3.5.3 近场非线性在远场理论中的特殊表现

当然, 近场绕流总是高度非线性的. 除了非线性涡力外, 可压缩纵场的参与更加强了各种非线性, 如见Liu等 (2014). 而统一合力定理却硬是把在近场计算的合力统统表示成对$ \Gamma _{\phi }$和$Q_{\psi}$的线性依赖关系. 这是个有趣的奇葩: 用线性关系表示非线性物理不是不可能, 而是要付出代价, 即这两个量都是不可测的. 线性理论的误差通常是按其与非线性结果的差别来衡量的, 但在这里却是用另两个不可测量$ \Gamma _{\phi}$和$Q_{\psi }$的大小来衡量. 自然界就以这种奇特的方式显示近场非线性的顽强存在性. 结果, 到了线性远场, 这种"误差"的确自然消失了.

4 环量与升力的物理来源

图5

图5   对称翼型NACA0012的升力系数随来流攻角变化的曲线. 空心圆圈: 实验结果, $Re=5\times {10}^{6}$. 虚线: KJ公式加Kutta条件在线性近似下的理论预测结果, $C_{\rm l}=2\pi \alpha $ (此时$ \alpha $单位为弧度) (Wu et al. 2015)


因此, 下面就以这个KJ公式为基础来讨论升力的物理来源. 称沿这个思路展开的解释为"环量解释", 它其实是正统解释; 而把不理睬KJ公式的解释或假说称为"非环量解释". 上面既然已经观察到升阻力的物理根植于不可压黏流之中, 下面讨论不可压二维流就够了. 可以看到: 正统的环量解释一路走来并非无隙可乘, 仍需要继续加以完善, 难怪对升力来源有那么多不同的声音. 本文在这里尽可能给出完整的逻辑链条, 其理论细节均可在Wu 等(2015)中找到. 本节内容的最初版本, 是本文第一作者代表另外两位以及朱金阳、邹舒帆博士, 在大连理工大学航空航天学院所作的报告《升力的来源》(2014年9月3日).

4.1 无黏势流: 正确却神秘的环量

讨论从无黏势流入手, 升力由原始的Joukowski环量公式(6)决定. Joukowski曾构造了后缘角为零的Joukowski翼型, 并将其保角变换到有旋转的圆柱绕流, 按后缘Kutta条件决定了翼型环量(等于旋转圆柱绕流的环量), 导出了升力随攻角和翼型厚度变化的正确规律. 在这个势流图景中, 只能设想环量来自翼型内部一个假想的涡. 这个涡是否真实存在? Prandtl及其学生做了著名的实验. 他们根据环量守恒断定, 一个突然启动的机翼一旦获得环量和升力, 一定甩下一个环量等值反号的"启动涡", 这个涡完全待在流体中, 可以直接显示出来(图6). 于是人们从启动涡的直接观察可以推断出机翼环量即升力涡的存在. 这个实验迄今仍被大多数教材视为证明升力环量存在的经典证据.

图6

图6   一个突然启动的机翼在其后缘甩出的启动涡 (Prandtl & Tietjens 1934)


但是, 式(6)一出现, 就首先在顶尖学者尤其是在英国和欧洲大陆的学者之间, 引起很大争议(Darrigol 2005, Bloor 2011). 英国学者包括Rayleigh, Lamb, Kelvin等人, 都不相信式(6). 他们的基本理由是: 根据Kelvin环量定理, 机翼不可能无中生有地产生环量. 有趣的是, 正是Kelvin (1869)建立了环量的概念和守恒定理, 正是Rayleigh (1878)研究了旋转圆柱绕流以解释如何击出能曲线飞行的网球. 对于升力涡和启动涡的实验解释, 英国学者Jeffreys反驳说: 从启动涡推断翼型环量, 需要用到刚刚违反了的Kelvin定理, 所以错用了两次, 而错了两次不等于对了一次.

然而, Prandtl的哥廷根团队最关切的是推进新兴航空科学的发展, 率先取得突破、扩大战果, 并应用于飞机设计, 而不是坐而论道, 使有关理论的各方面都完备化. 他们依据KJ定理建立了薄翼型线化理论和细长体理论, 发展了三维机翼升力线理论, 到1918年奠定了经典低速空气动力学的基础. 而英国航空空气动力学的发展则从1906年算起迟滞了约20年. 史家高度评价Prandtl学派的贡献, 他们在分析这场争论时说: "Rayleigh, Lamb和Kelvin对流体力学了解太多, 以致无法想象绕机翼的环量是升力的主要原因. 两个独立地撞到这个想法的人则缺乏理论物理的训练. 他们一个是工程师, 另一个是年轻的数学家." (Darrigol 2005) "英国将空气动力学交给数学物理学家, 而德国人则将空气动力学交给数学精湛的工程师." "$\cdots\cdots$ 在剑桥Tripos (注: 约指剑桥大学特有的一套计算成绩和考核的方式)的基础上发展出的数学物理文化和德国 技术学院发展出的技术力学文化之间存在着差异." (Bloor 2011).

不过, 现在可以反思了. 哥廷根学派维护的环量解释的确留下了理论的短板. 在无黏流假设下, KJ公式确是违反Kelvin环量守恒定理; 假想的涡找不到现实载体; 也不能认为Prandtl对启动涡的实验观察就是对升力起源的完备解释, 它就像在阳光下从一个人的影子推断这个人出现了一样, 并不回答环量从哪里来.

为了理解无黏流中的环量概念何以不可能令人满意, 需要回顾它最基本的性质. 在严格的无黏流模型中, 在同一个边界条件下, Euler方程的解不唯一. 两层沿同一方向运动的流体, 能以不同的速度运动, 它们之间允许相对滑移即切向速度间断, 只要压力连续. 在沿物面运动的流体和物面之间也是如此(Bernoulli 常数可以仅沿每一层不变). 在这个图景中, 翼型的环量无非是物面上速度切向间断的回路积分, 由来流条件、翼型形状和Kutta条件唯一地确定. 结果必然导致零阻力这个D'Alembert佯谬(第2.4节已提到, 这个结果已经被严格地推广到亚声速可压缩势流). 这种切向间断是一种物质形态吗? 在严格无黏理论中不是, 因为间断面没有流体质点. 遗憾的是, 这种观点一直延续到现代, 如见Baker (1982). 据此, 谈论切向间断自身的演化是毫无意义的. 但如果不是物质载体, KJ公式里的环量还是物质的吗? 倘若不是, 它提供升力的机制当然就难以置信了.

4.2 无黏有旋流: 升力与环量的来源之谜

对无黏势流模型的第一个改进是进入有旋流. 这时Bernoulli积分就不好用了, 流体的压力和动能之间没有那样简单的关系了. Kelvin在其经典论文(Kelvin 1869, p. 225)中曾对旋涡(vortex)下了定义: "I now define a vortex as a portion of fluid having any motion that it could not acquire by fluid pressure transmitted through itself from its boundary."意思是, 旋涡是一部分可任意运动的流体, 该运动并非从其边界传过来的流体压力所致. Kelvin这个涡定义是否合适另当别论(吴介之和杨越 2020), 但他这段话清楚地指出了有旋流不能简单地用Bernoulli的速度-压力关系来描述. 事实上, Euler, Lagrange和D'Alembert在18世纪中叶建立Euler方程时就考虑过有旋流. 不可压Euler方程的旋度就是涡量方程

$\partial_{t}\pmb \omega +\pmb u\cdot \nabla \pmb \omega -\pmb \omega \cdot \nabla \pmb u = \mathbf{0} $

当时, 他们立即看到, 对于$\pmb \omega = \mathbf{0}$的无旋流, Euler方程可以立即积分一次得到Bernoulli方程, 从而找到解; 但有旋流的解不好找. 所以这三位先驱都倾向于只研究无旋流就够了, 结果把涡运动的研究推迟了一个世纪. 尤其是, Lagrange (1781)提出了一个势流定理: 如果$\pmb u $和$\pmb \omega $有任意阶时间导数(解析性), 则若$t=0$时流动无旋, 它将永远无旋. 对式(36)求逐阶升高的时间导数, 利用其齐次性就能证明定理. 后来Cauchy 在1815年进一步把这个势流定理落实到每个流体质点(参见 Truesdell 1954, Frisch & Villone 2014). 当Helmholtz (1858)Kelvin (1869)开创涡运动研究的时候, 他们不管涡量的来源, 只在承认有旋流业已存在的前提下建立理论. Helmholtz三个涡量管定理和Kelvin的环量定理实际上是Lagrange-Cauchy势流定理对有旋流的直接推广.

在这个模型里, 无黏有旋流模型仍然允许切向间断, KJ升力理论中的环量要受到所有这些定理的制约. 但根据这些定理, 翼型在无黏流中的运动无法产生环量, 也无法解释启动涡的涡量从哪里来.

4.3 黏性有旋流: 升力与环量的物理载体

如果流体完全没有黏性, 人们会感觉不到水是湿的(Goldstein 1969), 费曼在其《物理学讲义》中称之为"干水". 清风吹到脸上不会觉得凉快, 因为没有热交换. 陆士嘉先生的名言"流体经不住搓, 一搓就搓出了涡"也不灵, 因为这时"一搓就滑", 根本搓不出涡, 只有滑移. 即使有涡, 也是来历不明. 其实, 从不可压NS方程

$\rho \dfrac{{\rm D}\pmb u }{{\rm D}t}= - \nabla p- \nabla \times ( \mu \pmb \omega ) $

可以看出, 与代表正应力的压力相反; 代表切应力的涡量内禀地和黏性共存, 这才是陆士嘉先生说的"一搓就搓出了涡". 只是在Helmholtz-Kelvin时代人们已经知道, 如果$\pmb \omega = {O}(1)$, 那么对水和空气来说$\mu \pmb \omega $项可以忽略, 符合无黏涡运动理论的描述.

升力的正统解释也只有进入黏性流动才能转入坦途, 黏性来自伴随流体分子无规碰撞的动量交换与动能交换, 不管它有多小. 其作用之一是抹光无黏流模型中所有内部和边界上的间断, 把切向间断变成光滑的有旋流. Prandtl的边界层理论回答了D'Alembert佯谬, 也揭示出机翼环量的物质载体就是边界层. 形象地说, 在黏流中的机翼不是"裸"的, 而总穿着一层紧身的边界层衣服, 机翼的环量完全来自这层衣服. 这层衣服在机翼启动时滑落到尾流, 在自身诱导下卷成集中涡, 就是启动涡. 于是升力环量和启动涡的物质载体都落实了. 一架A380客机, 滑跑到$U = 80$ m/s就能腾空而起, 加速到250 m/s就能持续巡航. 托举着将近600 t的重量, 而发动机的全部做功只是为了克服阻力以保持式(7)中的速度$U$. 这样巨大而节能的升力, 居然全部来自机翼周围几公分厚的边界层里的净涡量! 这个匪夷所思的图景, 却是已被无数CFD 算例所直接确认的事实, 图4所示仅为其一例.

第一次世界大战结束后, 英国学者到哥廷根的访问促成了他们从无黏流转向黏流. 1926年出现了对黏流证实式(7)的实验和理论解释, 出现了Filon阻力公式. 批评过无黏流启动涡解释的Jeffreys也转向基于NS方程的升力研究. 还出现了Glauert关于空气动力学的第一本经典英语教材(Glauert 1926). Glauert到哥廷根和Prandtl合作过, 熟知其边界层理论, 是英国唯一坚定支持Prandtl学派的学者. 尽管书中介绍的Prandtl升阻力公式没有黏性项, 表面上是"无黏"的, 但Glauert强调: 环量理论的物理基础是黏性流动, 表面无黏的气动力公式成立的条件是黏性系数$\mu \to 0 $但$\mu \neq 0 $, 而不是严格无黏流假设的$\mu \equiv 0 $. 这是翼型上的边界层在$Re \to \infty $下的渐近近似, 称为面涡(vortex sheet), 这个概念是Helmholtz首先引入的. 此时边界层和尾流剪切层的厚度趋于零, 而层内的涡量趋于无穷大, 保持其法向积分为有限值即面涡强度

$\pmb \Gamma =\mathop{\rm lim}\limits_{\delta\to 0}\int_0^\delta {\pmb \omega {\rm d}n} = \mathop{\rm lim}\limits_{\delta\to 0}\int_0^\delta \pmb n\times \partial_{n}\pmb u {\rm d}n = \pmb n\times [ [ \pmb u ] ] $

其中$[[ \pmb u ]]$是速度间断, 在物面上即外部无旋流和物面速度之差. 可见, 面涡是物质的而绝不是非物质的切向间断, 是边界层和自由剪切层在无需考察摩阻和层内流动时的简化模型, 它能忠实地保持有限厚度边界层和自由剪切层内的总涡量, 也就是环量. 于是在Taylor判据满足的条件下, 记机翼表面为$\partial B$, 机翼携带的环量就是

$\Gamma =\int_{\partial B} \pmb \Gamma {\rm d}S =\int_{\partial B} \pmb n\times [[ \pmb u ]]{\rm d}S $

至此, 还需回答: 对于黏流, Kelvin定理变成什么样了? 用以从启动涡推断升力涡存在的总环量守恒还能成立吗?

准确地说, Kelvin环量定理说的是: 任何同一组流体质点构成的物质涡量管, 其环量不仅在空间上守恒, 也在时间上守恒. 但定理是有条件的: 流体无黏、正压、体积力有势, 亦即一般意义下Bernoulli积分存在的条件. 黏性的出现破坏了环量的守恒性, 它可以从无到有地产生或从有到无地消失. 总涡量守恒则是另一回事. 在Kelvin时代它被看做是一般环量守恒的一个特例, 只是到晚近才被从Kelvin环量守恒中分离出来. 现在知道, 在无穷远流体静止的无界空间$V_{\infty}$中, 对三维流, 总涡量为零; 而对二维流, 总环量的时间导数为零. 即

$\int_{V_\infty } {\pmb \omega {\rm d}V} =\mathbf{0}\quad \ (n=3),\qquad \dfrac{{\rm d}\Gamma _{\infty }}{{\rm d}t}=0\quad \ (n=2) $

这个结果是普适的, 对黏流也成立(三维总涡量为零是涡量无散的直接结果, 二维总环量的时间不变性是吴镇远(Wu 1982)首先证明的). 因此, 当年英国大师们反对KJ公式和Prandtl实验的理由, 就都不成立了.

为把黏性有旋流的环量解释贯彻到底, 还需要回答一个关键问题: 机翼上的涡量和环量是如何产生的? 产生过程的物理因果性如何? 换言之, 机翼上涡量的源是什么?

能够影响涡量场演化的物理机制不止一种, 源是最强的一种, 无中生有谓之源, 即在本来涡量为零的环境里产生涡量. 源及其生成物之间的关系是动力学的因果关系, 可以追溯到局部过程, 有时间顺序可以辨认. 运动学的共存关系如速度-涡量关系或动力学的作用-反作用关系(如升力-下洗关系), 都不属于因果关系. 顺便提一下, 升力-下洗关系也是升力非正统解释的论点之一, 对其评论见Wu等 (2015, pp. 294-295). 众所周知, 在流场内部, 非保守体力$ \nabla \times \pmb f $和流动的斜压性如$ \nabla T \times \nabla s$都是涡量源, 其中$\pmb f $是单位质量的体积力, $T$和$s$是涡量和熵. 一旦把它们加到式(35)的右边, 方程就是非齐次的, Lagrange-Cauchy势流定理的条件就不成立了. 对黏性流体, 此式还有扩散项$\nu \nabla ^{2}\pmb \omega $, 但它不是源.

现在, 回到上面讨论的无外部体力的不可压黏性有旋流, 其方程没有源项. 表面上看, Lagrange-Cauchy势流定理仍然成立, 但在实际流动中涡量确实在不同场合会无中生有地出现. 即使在Helmholtz (1858)的时代也知道, 能够在一个管道的一端通过压力脉冲而在另一端喷出一个圆涡环来, 成为他建立涡环理论的依据. 可以把这个理论与实际的矛盾称为Lagrange佯谬. 如果说, D'Alembert佯谬追问的是阻力的物理载体, Prandtl对它的回答是边界层里的涡量, 但他并没有指出其生成的因果关系; 那么Lagrange佯谬追问的就是该载体的源————它既导致阻力, 也导致升力, 后者是更深层次的佯谬.

Lagrange佯谬对历代顶级学者的困扰比D'Alembert佯谬更久. 边界层理论问世后半个世纪, Truesdell (1954)在其专著中介绍了围绕这个佯谬的历史争论(在那里称之为涡量场的非解析性), 并感叹道: "更惊人的是, 教科书、专著和最近的论文都在重复早先作者们的错误, 这显然表明: 涡量在黏性流体中的产生尚未得到完全的理解. "事实上, 到那时只缺临门一脚了.

这临门一脚是Lighthill (1963)踢出的. 考虑不可压NS方程(36)在$(x,z)$平面上的分量形式, 将其用到静止平板表面. 流体速度的黏附性意味着加速度也有黏附性, 所以只剩下法向力和切向力的平衡

$\dfrac{1}{\rho }\dfrac{\partial p}{\partial x}=-\nu \dfrac{\partial \omega }{\partial z}, \qquad \ \dfrac{1}{\rho }\dfrac{\partial p}{\partial z}=\nu \dfrac{\partial \omega }{\partial x} $

第一式表明切向压力梯度导致涡量的法向扩散率. 平板下方没有涡量, 若有涡量进入流场必是在物面上新产生的, 此式右边代表涡量的产生率. Lighthill (1979)图7 简明地阐明了这个机制, 关键是黏性使得小球不能滑动而只能滚动. 这是一个局部的无中生有的因果过程, 压力梯度是因, 涡量产生是果, 因为压力是平衡态热力学量, 黏性扩散则反映从一个局部平衡态转变到另一个局部平衡态的过程, 其建立比压力晚几个分子碰撞的时间. 由于$\partial _{x}p =O(1) $, $\nu \partial_{z}\omega $必是同量级, 黏性越小, 涡量梯度就越大.

图7

图7   涡量在边界上的产生机制示意图(Lighthill 1979)


这个图景表示, 涡量和压力在边界上的耦合使得涡量的演化不满足齐次方程的规律, Lagrange-Cauchy 势流定理无效, 涡量可以无中生有地由压力梯度产生. 整个边界层里的涡量都是这样来的(无压力梯度的Blasius边界层中的涡量来自前缘). 式(41)已被人们扩展到三维可压缩流体经过任意运动固体表面的情形, 构成了完整的边界涡量动力学(参见Wu等 (2018)的述评).

值得注意的是, Lighthill关系(41)并不出现在流场内部的涡量方程中, 所以在此前180年关于涡量"非解析性"的争论中被忽略掉了; 而通常的速度-压力表述只需要速度黏附性的边界条件, 人们虽然知道式(41), 却仅把它列为"相容性条件"之一(Schlichting & Gersten 2000)而未予重视. "上穷碧落下黄泉, 两处茫茫皆不见". 仅当需要考虑速度-涡量表述时, 因为涡量方程比动量方程高了一阶, 需要补充附加边界条件以消除升阶可能带来的伪解, 式(41)才进入人们的视野. 这很可能是为什么Lagrange佯谬的解决经历的时间跨度比D'Alembert佯谬还要长的一个理论原因. 而且, Lighthill关系迄今也只在少数教材和专著中得到反映(最早的教科书又是Panton 1984). 可是Lighthill本人很看重式(41). 他为国际物理学界回顾20世纪物理学成就的多卷本文集中写了《流体力学》一章, 在述评20世纪流体力学进展时再次引用图7 (Lighthill 1995), 就是明证.

还应指出, 由于关注的一直是定常流, 而不可压定常流是流动业已达到平衡态时的形态, 其主控方程是椭圆型的, 不能据以清晰地分析过程的因果顺序. 结果, 在研究机翼环量来源的因果链中, Lighthill关系(41)是唯一能辨识的一环, 而且是靠分子运动论辨识的. 如果要考查整个因果链, 就必须转向非定常流. 典型的例子是一个加速启动翼型流动中压力梯度的出现, 边界层的建立及其分离, 分离泡的形成、移动与消失, Kutta 条件(在黏流中表现为特定物理事件)的建立和机翼环量与启动涡形成等等过程, 是个很复杂的非定常分离流问题. 这个问题已由Zhu等 (2015)做了深入研究, 这里只对决定定常流环量大小的Kutta条件做个简要说明.

因为无黏势流理论不仅允许间断, 也允许速度场有奇异性, Kutta条件最初是人为引进的关键假设. 但在黏性有旋流中, 它应从外加的假设转变成某个自然的动力学事件. 对此, 人们曾提出多种物理事件做为表述Kutta条件的选项. Zhu等 (2015)列举了5种(前面提到的Taylor判据是其一), 并在翼型启动的非定常过程中逐一辨认出这些不同事件发生的时间. 他们的研究表明, 只有von Kármán和Burgers (1935)提出的表述是个在特定瞬间发生的事件: 上翼面附着分离泡在那一瞬间消失, 流动完全附着, 后驻点与翼型后缘重合(参考图8). 它是翼型启动后下表面流动经后缘经分离泡向上游折转到改为顺流而下的分界, 精确地标志着后缘开始甩出启动涡, 翼型开始获得环量. Kutta条件的这个表述得到了Batchelor (1967)的认同. 不过Kármán和Burgers的表述中的一个状语"在最终的定常态下"可删, 因为事件发生时流动仍然高度非定常. 其他表述对应的事件发生时间都比Kármán-Burgers事件晚, 而且无法做准确的时间认定.

图8

图8   不可压二维流动Kutta条件建立过程中几个无量纲时刻的局部放大后缘绕流与拓扑结构. 细实线: 瞬时流线; 黑实线: 下表面后缘附近释放的迹线; 白实线: 同一地点发出的染色线; 云图: 涡量 (vorticity). $N$, $S$为结点和鞍点, $S'$为半鞍点. (a) $t = 0.026$, 上表面后缘上游有个分离泡, 迹线和染色线向上游翻转. (b) $t = 0.029$, 分离泡打开, 上表面流动完全附着, 迹线和染色线向上游翻转的运动突然停止. 从此机翼开始获得环量. (c) $t = 0.050$, 迹线已突然折向下游, 染色线标志的分离剪切层已从後缘卷起, 成为启动涡的雏形. (d) $t = 0.100$, 组成启动涡的流体质点族已经移向下游 (Zhu et al. 2015)


4.5 环量与升力来源的小结

升阻力来源的正统解释也有坎坷的历程. Prandtl学派在最初的无黏流框架内给出的解释难以在理论上自圆其说, 为各种非正统假说开了方便之门. 它们的共同特点就是摒弃环量, 试图回到速度-压力表述, 并只用Bernoulli定理去解释神秘的升力. 但这是不可能成功的.

只有黏性有旋流模型能在保障环量理论健康发展的同时提供它的正确物理解释, 即机翼的环量来自其边界层中的涡量. 但是, 很多现代空气动力学教材过分简单地照搬Prandtl学派的早期著作, 把KJ定理当做严格无黏理论来讲, 对升力的解释还停留在不自洽的状态, 那也是不可能说服人的. 这不仅是落后于时代, 甚至是落后于Glauert (1926)了. 从无黏无旋流到无黏有旋流, 再到有黏有旋流, 从升力环量的确认到其物质载体的确认, 再到其因果来源的确认, 每一步进展都来之不易. 在正确理论建立之后一个世纪的今天, 再次呼吁广大流体力学、空气动力学专家和教师, 共同为传播升力来源的科学理解而继续努力.

5 结论与展望

博文提出的定常升阻力普适理论, 标志着远场理论方法完成了向黏性可压缩流的发展. 在定常流范畴内, 各种刻画复杂流动结构与过程对合力影响的不可压或可压缩近场理论, 有了一个用远场方法得到的统一、简洁、精确的对应物, 表明升阻力能够分别仅用势流环量和有旋流函数的多值性或奇异性表示成普适的线性公式. 这两个不直接可测的运动学量和可测的物理环量-流函数的差别, 是流动固有非线性的特殊表现. 所得公式和不可压黏流完全相同, 说明产生升阻力的物理机制完全源于不可压流. 可压缩流中纵场的各种特殊过程和结构对合力的影响, 在线化远场都能通过流动固有的纵横耦合机理转化成仅用横场即涡量场表示的形式.

近场理论的奠基距今已有百年, 到1980年代出现了很多新的表述, 至今也已经持续发展了三十余年. 在低速流动中, 已经形成了部分关于复杂流动力和力矩的理论公式, 并被应用到复杂的工程流动中. 然而, 可用于研究鱼游和鸟飞等强非定常流动的近场理论还有待进一步探索. 与低速空气动力学相反, 黏性可压缩流体的高速空气动力学理论在很长一段时间内没有太大的进展, 相关的系统理论工作也是最近几年内才开始摸索, 目前还亟需广泛的实验或数值验证. 此外, 远场理论和近场理论如何实现光滑衔接、相应的实验和数值检验如何实施, 都需要未来的继续努力.

定常升阻力普适公式只能在黏性有旋流动中得到, 因此对升力物理来源最简洁的环量解释, 也只能在黏性有旋流中获得自洽的理解, 即提供机翼升力的环量完全来自机翼边界层中的净涡量. 而这些涡量都是切向压力梯度经物面黏附条件搓出来的. 任何撇开黏性和有旋流的非正统解释都不可能成功. 向非专业读者阐释升力的这个物理来源, 仍是流体力学和空气动力学界不可推辞的重要任务.

致谢

国家自然科学基金资助项目(11472016, 91752202).

参考文献

刘罗勤. 2016.

黏性可压缩外流升阻力的统一理论基础

[博士论文]. 北京: 北京大学

[本文引用: 5]

( Liu L Q. 2016.

Unified theoretical foundations of lift and drag in viscous and compressible external flows

[PhD Thesis]. Beijing: Peking University).

[本文引用: 5]

吴介之. 1984.

向旋涡索取升力

国际航空, 4:2-5, 31.

吴介之, 杨越. 2020.

关于旋涡定义的思考

空气动力学学报, 38:1-8

[本文引用: 1]

( Wu J Z, Yang Y. 2020.

Thoughts on vortex definition

Acta Aerodynamica Sinica, 38:1-8).

[本文引用: 1]

Ackroyd J A D. 2015.

Babinsky's demonstration: The theory of flight and its historical background

Journal of Aeronautical History, Paper No. 2015/01.

Baker G R, Meiron D I, Orszag S A. 1982.

Generalized vortex methods for free-surface flow problems

J. Fluid Mech., 123:477-450.

DOI      URL     [本文引用: 1]

Batchelor G K. 1967.

An Introduction to Fluid Dynamics. Cambridge:

Cambridge University.

[本文引用: 3]

Bloor D. 2011.

The Enigma of the Aerofoil

Chicago: University of Chicago.

[本文引用: 2]

Bryant L W, Williams D H. 1926.

An investigation of the flow of air around an aerofoil of infinite span

Phil. Trans. Roy. Soc. Lond., 225:199-237.

[本文引用: 1]

Burgers J M. 1920.

On the resistance of fluids and vortex motion

Pro. K. Akad. Wet. Amsterdam, 23:774-782.

[本文引用: 1]

Cole J D, Cook L P. 1986.

Transonic Aerodynamics

New York: North-Holland.

[本文引用: 1]

Darrigol O. 2005.

Worlds of Flow

New York: Oxford University.

[本文引用: 2]

Filon L N G. 1926.

The forces on a cylinder in a stream of viscous fluid

Proc. Roy. Soc. Lond. A, 113:7-27.

[本文引用: 2]

Finn R, Gilbarg D. 1957.

Asymptotic behavior and uniqueness of plane subsonic flows

Commun. Pure Appl. Math., 10:23-63.

[本文引用: 1]

Finn R, Gilbarg D. 1958.

Uniqueness and the force formulas for plane subsonic flows

Trans. Am. Math. Soc., 88:375-379.

[本文引用: 1]

Frisch U, Villone B. 2014.

Cauchy's almost forgotten Lagrangian formulation of the Euler equation for 3D incompressible flow

The European Physical Journal H, 39:325-351.

[本文引用: 1]

Glauert H. 1926.

The Elements of Aerofoil and Airscrew Theory

Cambridge: Cambridge University.

[本文引用: 2]

Goldstein S. 1929.

The forces on a solid body moving through viscous fluid

Proc. Roy. Soc. Lond. A, 123:216-225.

[本文引用: 1]

Goldstein S. 1931.

The forces on a solid body moving through viscous fluid

Proc. Roy. Soc. Lond. A, 131:198-208.

[本文引用: 3]

Goldstein S. 1969.

Fluid mechanics in the first half of this century

Ann. Rev. Fluid Mech., 1:1-29.

[本文引用: 1]

Helmholtz H. 1858.

On integrals of the hydrodynamical equations which express vortex-motion

J. Pure Appl. Math., 55:25-55.

[本文引用: 2]

Joukowski N E. 1906.

On annexed vortices

Proc. Phys. Nat. Sci. Soc., 13:12-25.

[本文引用: 2]

Kang L L, Liu L L, Su W D, Wu J Z. 2018.

Minimum-domain impulse theory for unsteady aerodynamic force

Phys. Fluids, 30:016107.

[本文引用: 1]

Lagerstrom P A, Cole J D, Trilling L. 1949.

Problems in the Theory of Viscous Compressible Fluids

Pasadena: California Institute of Technology.

DOI      URL     PMID      [本文引用: 1]

The most common positron emission tomography (PET) radio-labeled probe for molecular diagnostics in patient care and research is the glucose analog, 2-deoxy-2-[F-18]fluoro-D-glucose ((18)F-FDG). We report on an integrated microfluidics-chip/beta particle imaging system for in vitro(18)F-FDG radioassays of glycolysis with single cell resolution. We investigated the kinetic responses of single glioblastoma cancer cells to targeted inhibitors of receptor tyrosine kinase signaling. Further, we find a weak positive correlation between cell size and rate of glycolysis.

Lagrange J L. 1781.

Memoir on the Theory of Fluid Motion

Berlin: Nouv. Mém. Acad.

[本文引用: 1]

Lamb H. 1932.

Hydrodynamics

Cambridge: Cambridge University.

[本文引用: 1]

Landau L D, Lifshitz E M. 1959. Fluid Mechanics. New York: Pergamon Press.

[本文引用: 1]

Lighthill M J. 1963.

Introduction. Boundary Layer Theory

New York: Dover.

[本文引用: 1]

Lighthill M J. 1979.

Waves and hydrodynamic loading//Proc. 2nd Int. Conf

Behaviour of Offshore Structures, 1:1-40.

[本文引用: 2]

Lighthill M J. 1995. Fluid Mechanics//Brown L M, Pais A, Sir B Pippard. eds. Twentieth Century Physics, Vol. II. New York: AIP Press., pp. 795-912.

[本文引用: 1]

Liu L Q. 2018.

Unified Theoretical Foundations of Lift and Drag in Viscous and Compressible External Flows

Singapore: Springer.

Liu L Q. 2019.

The sole measure of aerodynamic forces in steady far field

//IUTAM Symposium on Vortex Dynamics in Science, Nature and Technology, 24-28 June, SIO, La Jolla, USA.

[本文引用: 1]

Liu L Q, Kang L L, Wu J Z. 2017a.

Zonal structure of unbounded external-flow and aerodynamics

Fluid Dyn. Res., 49:045508.

[本文引用: 1]

Liu L Q, Shi Y P, Zhu J Y, Su W D, Zou S F, Wu J Z. 2014.

Longitudinal-transverse aerodynamic force in viscous compressible complex flow

J. Fluid Mech., 756:226-251.

[本文引用: 1]

Liu L Q, Wu J Z, Su W D, Kang L L. 2017b.

Lift and drag in three-dimensional steady viscous and compressible flow

Phys. Fluids, 29:116105.

[本文引用: 1]

Liu L Q, Zhu J Y, Wu J Z. 2015.

Lift and drag in two-dimensional steady viscous and compressible flow

J. Fluid Mech., 784:304-341.

[本文引用: 3]

Noca F, Shiels D, Jeon D. 1997.

Measuring instantaneous fluid dynamic forces on bodies, using only velocity fields and their derivatives

J. Fluids Struct., 11:345-350.

[本文引用: 1]

Panton R L. 1984.

Incompressible Flow

New York: Wiley.

[本文引用: 1]

Prandtl L. 1904. On the motion of fluids with very little friction//Proceedings of III International Mathematical Congress, Heidelberg.

[本文引用: 1]

Prandtl L, Tietjens O G. 1934.

Applied Hydro- and Aeromechanics

New York: McGraw-Hill.

[本文引用: 1]

Rayleigh J W S. 1878.

On the irregular flight of a tennis-ball

Mess. Math., 7:14-16.

[本文引用: 1]

Regis E. 2020.

The enigma of aerodynamic lift

Scientific American, 322:44-51.

[本文引用: 1]

Saffman P. 1992.

Vortex Dynamics

Cambridge: Cambridge University.

[本文引用: 1]

Schlichting H, Gersten K. 2000.

Boundary-Layer Theory

Berlin: Springer.

[本文引用: 1]

Taylor G I. 1926.

Note on the connection between the lift on an airfoil in a wind and the circulation round it

Phil. Trans. Roy. Soc. Lond., 225:238-245.

[本文引用: 1]

Thomson W. (Lord Kelvin) 1869.

On vortex motion

Trans. R. Soc. Edinb., 25:217-260.

[本文引用: 3]

Truesdell C A. 1954.

The Kinematics of Vorticity

Bloomington: Indiana University.

[本文引用: 2]

von Kármán T, Burgers J M. 1935.

General Aerodynamic Theory——Perfect Fluids

Berlin: Springer.

[本文引用: 2]

Wu J C. 1981.

Theory for aerodynamic force and moment in viscous flows

AIAA J., 19:432-441.

[本文引用: 1]

Wu J C. 1982. Problems of General Viscous Flow//Benerjee P K, ed. Developments in Boundary Element Methods. London: Applied Science Press.

[本文引用: 1]

Wu J Z, Liu L Q, Liu T S. 2018.

Fundamental theories of aerodynamic force in viscous and compressible complex flows

Prog. Aero. Sci., 99:27-63.

[本文引用: 4]

Wu J Z, Ma H Y, Zhou M D. 2006.

Vorticity and Vortex Dynamics

Berlin: Springer.

Wu J Z, Ma H Y, Zhou M D. 2015.

Vortical Flows

Berlin: Springer.

[本文引用: 5]

Wu J Z, Pan Z L, Lu X Y. 2005.

Unsteady fluid dynamic force solely in terms of control-surface integral

Phys. Fluids, 17:098102.

Zhu J Y, Liu T S, Liu L Q, Zou S F, Wu J Z. 2015.

Causal mechanisms in airfoil circulation formation

Phys. Fluids, 27:123601.

[本文引用: 3]

Zou S F, Wu J Z, Gao A K, Liu L Q, Kang L L, Shi Y P. 2019.

On the concept and theory of induced drag for viscous and incompressible steady flow

Phys. Fluids, 31:065106.

[本文引用: 1]

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